Геометрия · 9 класс · урок 1 из 3 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. X, § 1

Координаты вектора

Сначала нужно знать: Умножение вектора на число
Зачем этот урок: ЕГЭ №2: координаты вектора, разложение по двум векторам, действия с векторами в координатах
Дальше: Простейшие задачи в координатах

Метод координат · урок 1

Координаты вектора

Разложение по двум векторам и действия в координатах

Лемма о коллинеарных векторах

Лемма — вспомогательная теорема, с помощью которой доказывают другие.

Доказательство. Если $\vec a \uparrow\uparrow \vec b$ , возьмём $k = \dfrac{|\vec b|}{|\vec a|}$ : $k \ge 0$ , векторы $k\vec a$ и $\vec b$ сонаправлены и одной длины — равны.

Если $\vec a \uparrow\downarrow \vec b$ , возьмём $k = -\dfrac{|\vec b|}{|\vec a|}$ : $k < 0$ , и снова $k\vec a$ и $\vec b$ сонаправлены и одной длины.

Если векторы

\vec a

\vec b

коллинеарны и

\vec a \ne \vec 0

, то существует такое число

k

, что

\vec b = k\vec a

Разложение по двум векторам

Запись $\vec p = x\vec a + y\vec b$ — разложение $\vec p$ по $\vec a$ и $\vec b$ , числа $x$ , $y$ — коэффициенты.

Существование. Отложим от $O$ векторы $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec p = \overrightarrow{OP}$ ; через $P$ проведём прямую $\parallel \vec b$ до точки $A_1$ на прямой $\vec a$ . $\vec p = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{A_1P}$ , а по лемме $\overrightarrow{OA_1} = x\vec a$ , $\overrightarrow{A_1P} = y\vec b$ .

Единственность. Если ещё $\vec p = x_1\vec a + y_1\vec b$ , то $\vec 0 = (x - x_1)\vec a + (y - y_1)\vec b$ . При $x \ne x_1$ получили бы $\vec a = -\dfrac{y - y_1}{x - x_1}\vec b$ — коллинеарность, противоречие.

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Координаты вектора

От начала координат отложим единичные векторы $\vec i$ (по оси $Ox$ ) и $\vec j$ (по оси $Oy$ ) — координатные векторы.
Любой вектор единственным образом раскладывается: $\vec p = x\vec i + y\vec j$ . Числа $x$ , $y$ — координаты вектора: $\vec p\,\{x; y\}$ . На рисунке $\overrightarrow{OA}\{2; 1\}$ , $\vec b\{3; -2\}$ .
$\vec 0\,\{0; 0\}$ . Координаты равных векторов равны.

Действия в координатах

1°. Координаты суммы равны суммам координат: $\vec a\{x_1; y_1\} + \vec b\{x_2; y_2\} = \{x_1 + x_2;\ y_1 + y_2\}$ . Доказательство: $\vec a + \vec b = x_1\vec i + y_1\vec j + x_2\vec i + y_2\vec j = (x_1 + x_2)\vec i + (y_1 + y_2)\vec j$ .
2°. Координаты разности равны разностям координат.
3°. $k\vec a = \{kx;\ ky\}$ .
Пример: $\vec a\{1; -2\}$ , $\vec b\{0; 3\}$ , $\vec c\{-2; 3\}$ ; $\ \vec p = 2\vec a - \dfrac13\vec b + \vec c = \{2 + 0 - 2;\ -4 - 1 + 3\} = \{0; -2\}$ .
Коллинеарность: ненулевые векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны (№ 927).

Атанасян, № 922, 924, 926Пример 1

а) Найдите

\vec a + \vec b

, если

\vec a\{3; 2\}

\vec b\{2; 5\}

. б) Найдите

2\vec a

-3\vec a

для

\vec a\{3; 2\}

. в)

\vec v = 3\vec a - 3\vec b

\vec a\{2; -5\}

\vec b\{-5; 2\}

. Найдите

\vec v

а) $\{3 + 2;\ 2 + 5\} = \{5; 7\}$ .
б) $2\vec a\{6; 4\}$ , $-3\vec a\{-9; -6\}$ .
в) $3\vec a\{6; -15\}$ , $3\vec b\{-15; 6\}$ ; $\vec v = \{6 + 15;\ -15 - 6\} = \{21; -21\}$ .

Ответ: а) $\{5; 7\}$ ; б) $\{6; 4\}$ , $\{-9; -6\}$ ; в) $\{21; -21\}$

Атанасян, № 928, 915Пример 2

а) Даны

\vec a\{3; 7\}

\vec b\{-2; 1\}

\vec c\{6; 14\}

\vec d\{2; -1\}

\vec e\{2; 4\}

. Укажите попарно коллинеарные. б) Точка

M

на диагонали

AC

параллелограмма

ABCD

AM : MC = 4 : 1

. Разложите

\overrightarrow{AM}

по

\vec a = \overrightarrow{AB}

\vec b = \overrightarrow{AD}

а) $\vec c = 2\vec a$ — коллинеарны; $\vec d = -\vec b$ — коллинеарны. Остальные пары — координаты не пропорциональны.
б) $\overrightarrow{AC} = \vec a + \vec b$ (правило параллелограмма), $\overrightarrow{AM} = \dfrac45\overrightarrow{AC} = \dfrac45\vec a + \dfrac45\vec b$ .

Ответ: а) $\vec a$ и $\vec c$ , $\vec b$ и $\vec d$ ; б) $\dfrac45\vec a + \dfrac45\vec b$

ЕГЭ, задание 2Пример 3

Найдите длину вектора

\vec a\,(6; 8)

$\vec a = 6\vec i + 8\vec j$ ; катеты $6$ и $8$ прямоугольного треугольника, длина вектора — гипотенуза.
$|\vec a| = \sqrt{36 + 64} = 10$ (формулу докажем в следующем уроке).

Ответ: 10

Главное

Коллинеарный ненулевому: $\vec b = k\vec a$ .
Любой вектор единственным образом раскладывается по двум неколлинеарным.
Координаты вектора — коэффициенты разложения по $\vec i$ , $\vec j$ .
Сумма, разность, умножение на число — покоординатно; коллинеарность — пропорциональность координат.

Координаты вектора

Все уроки станции «Метод координат»