Простейшие задачи в координатах

Вектор $\overrightarrow{OM}$ — радиус-вектор точки $M$. Координаты точки равны координатам её радиус-вектора: $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM_1} + \overrightarrow{OM_2} = x\vec i + y\vec j$.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$, поэтому каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Пример: $B(1; 4)$, $C(4; 2)$ — $\overrightarrow{BC}\{3; -2\}$.

• Середина отрезка: из $\overrightarrow{OC} = \dfrac12(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$: $\ x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$ — полусуммы координат концов.
• Длина вектора $\vec a\{x; y\}$: катеты $|x|$ и $|y|$, по теореме Пифагора $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Расстояние между точками $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$ — длина $\overrightarrow{M_1M_2}$: $\ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• Вводим удобную систему координат, записываем условие в координатах и решаем задачу алгеброй — это метод координат.
• № 952. Середина гипотенузы равноудалена от вершин: $C(0; 0)$, $B(a; 0)$, $A(0; b)$, $M\left(\dfrac a2; \dfrac b2\right)$; $\ MC = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{b^2}{4}} = \dfrac12\sqrt{a^2 + b^2} = \dfrac12 AB = MA = MB$.
• № 953. В параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей: $A(0; 0)$, $D(a; 0)$, $B(b; c)$, $C(a + b; c)$; $\ AC^2 + BD^2 = (a + b)^2 + c^2 + (a - b)^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2(AD^2 + AB^2)$.