Геометрия · 9 класс · урок 3 из 3 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. X, § 3

Уравнения окружности и прямой

Сначала нужно знать: Простейшие задачи в координатах
Зачем этот урок: Уравнение окружности и прямой — мост между геометрией и графиками функций (ОГЭ №22, ЕГЭ №17)
Дальше: Синус, косинус, тангенс угла от 0° до 180°

Метод координат · урок 3

Линия на плоскости как уравнение с двумя переменными

Уравнение линии

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$ , если ему удовлетворяют координаты любой точки $L$ и не удовлетворяют координаты никакой точки вне $L$ .

Пример: $y = x$ — уравнение прямой через $O(0; 0)$ и $A(1; 1)$ : у каждой её точки абсцисса равна ординате, а у точек вне прямой — нет.

Две задачи: по свойствам линии найти её уравнение; по уравнению исследовать линию (как в алгебре с графиками).

Уравнение окружности

Точка $M(x; y)$ лежит на окружности с центром $C(x_0; y_0)$ радиуса $r$ тогда и только тогда, когда $MC = r$ , то есть $MC^2 = r^2$ : $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ .

Центр в начале координат: $x^2 + y^2 = r^2$ .

Задача. Окружность с центром $(-3; 4)$ проходит через начало координат: $r^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ , уравнение $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$ , или $x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$ .

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

Уравнение прямой

Возьмём точки $A(x_1; y_1)$ , $B(x_2; y_2)$ так, чтобы прямая $l$ была серединным перпендикуляром к $AB$ . $M(x; y) \in l$ $\Leftrightarrow$ $AM^2 = BM^2$ : $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2$ .

Раскрыв скобки, получим $ax + by + c = 0$ , где $a = 2(x_2 - x_1)$ , $b = 2(y_2 - y_1)$ — хотя бы одно не ноль. Уравнение прямой — уравнение первой степени.

Прямая через $M_0(x_0; y_0)$ параллельно $Ox$ : $y = y_0$ ; параллельно $Oy$ : $x = x_0$ . Оси: $y = 0$ и $x = 0$ .

ax + by + c = 0

Атанасян, № 960, 963Пример 1

а) Какие из точек

A(3; -4)

B(1; 0)

C(0; 5)

D(0; 0)

E(0; 1)

лежат на окружности

x^2 + y^2 = 25

? б) На этой окружности найдите точки с абсциссой

-4

и с ординатой

3

а) $9 + 16 = 25$ — $A$ лежит; $0 + 25 = 25$ — $C$ лежит; у $B$ , $D$ , $E$ сумма квадратов меньше $25$ — точки внутри круга.
б) $16 + y^2 = 25$ , $y = \pm 3$ : $(-4; 3)$ , $(-4; -3)$ . $\ x^2 + 9 = 25$ , $x = \pm 4$ : $(4; 3)$ , $(-4; 3)$ .

Ответ: а) $A$ и $C$ ; б) $(-4; \pm 3)$ ; $(\pm 4; 3)$

Атанасян, № 967, 969Пример 2

а) Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через

B(-1; 3)

. б) Напишите уравнение окружности с диаметром

MN

M(-3; 5)

N(7; -3)

а) $r^2 = 1 + 9 = 10$ : $\ x^2 + y^2 = 10$ .
б) Центр — середина $MN$ : $(2; 1)$ . $r^2 = (7 - 2)^2 + (-3 - 1)^2 = 25 + 16 = 41$ .
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$ .

Ответ: а) $x^2 + y^2 = 10$ ; б) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$

Атанасян, № 972Пример 3

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки

A(1; -1)

B(-3; 2)

Ищем $ax + by + c = 0$ . Подставим точки: $a - b + c = 0$ , $-3a + 2b + c = 0$ .
Вычтем: $4a - 3b = 0$ , возьмём $a = 3$ , $b = 4$ ; тогда $c = b - a = 1$ .
$3x + 4y + 1 = 0$ . Проверка: $3 - 4 + 1 = 0$ , $-9 + 8 + 1 = 0$ .

Ответ: $3x + 4y + 1 = 0$

Главное

Уравнение линии: ему удовлетворяют координаты точек линии и только они.
Окружность: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ .
Прямая: $ax + by + c = 0$ ; параллельные осям — $y = y_0$ , $x = x_0$ .
Чтобы проверить, лежит ли точка на линии, подставьте её координаты в уравнение.

Уравнения окружности и прямой

Все уроки станции «Метод координат»