Потенциальная энергия

Механическая энергия характеризует не только движение тел, но и их взаимодействие. Взаимодействующие тела или части одного тела обладают потенциальной энергией (от лат. *potentia* — возможность).

Разберём два простых случая: тело и Земля, деформированная пружина.

Работу силы тяжести можно записать как разность значений величины, зависящей от взаимного положения тела и Земли. Её называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.

• Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.
• Отрицательная работа (подъём) — $E_{\text{п}}$ растёт; положительная (падение) — убывает.
• Работой силы, действующей на Землю, пренебрегают: Земля практически не смещается.

Пружина растянута; шар на её конце смещается из $x_1$ в $x_2$. Сила $F = kx$ меняется линейно, и работа — площадь трапеции под графиком:

• $x$ — деформация (растяжение или сжатие) от недеформированного состояния.
• Растяжение вдвое больше — энергия вчетверо больше.
• Пружина растянута на $x_1$ и дотянута до $x_2$: прирост энергии $\dfrac{k(x_2^2 - x_1^2)}{2}$, а не $\dfrac{k(x_2 - x_1)^2}{2}$.

• Работа потенциальной силы на замкнутой траектории равна нулю.
• В 10 классе: сила тяжести (тяготения), сила упругости (по закону Гука), сила Архимеда (тело целиком в однородной среде), кулоновская сила.
• Работу консервативных сил всегда можно записать как $A = -\Delta E_{\text{п}}$.
• Сила трения не потенциальна: её работа зависит от пути и на замкнутом пути отрицательна.

Физический смысл имеет только изменение потенциальной энергии. Поэтому состояние с $E_{\text{п}} = 0$ выбирают произвольно — это нулевой уровень.

Обычно ноль — состояние с минимальной энергией: недеформированная пружина, тело на поверхности Земли. Тогда $E_{\text{п}} = mgh$ и $E_{\text{п}} = \dfrac{kx^2}{2}$ неотрицательны.

К ним можно добавить любую постоянную — ничего не изменится. Потенциальная энергия не зависит от системы отсчёта (расстояния во всех системах одни), но зависит от выбора нулевого уровня.

• Кинетическая энергия — у одного тела; потенциальная — всегда энергия взаимодействия минимум двух тел (или частей тела).
• Потенциальная энергия имеет смысл, только когда силы консервативны — зависят лишь от расстояний.
• Положительная работа внутренних сил увеличивает кинетическую энергию ($\Delta E_{\text{к}} = A$), но уменьшает потенциальную ($\Delta E_{\text{п}} = -A$).
• $E_{\text{к}} \ge 0$ всегда, $E_{\text{п}}$ может быть и отрицательной.
• $\Delta E_{\text{к}}$ — работа всех сил, $\Delta E_{\text{п}}$ — работа только консервативных со знаком минус.

1. $E_{\text{п}} = \dfrac{kx^2}{2} = \dfrac{5000 \cdot 0{,}1^2}{2} = 25$ Дж.
2. Сантиметры переводим в метры до подстановки.

1. Энергия пропорциональна квадрату деформации: при $4$ см она в $\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4$ раза больше — $16$ Дж.
2. Увеличение $16 - 4 = 12$ Дж — вариант 3, а не $4$ Дж.

1. $E \sim x^2$: при $1{,}5$ см $E_2 = 2 \cdot \left(\dfrac{1{,}5}{2}\right)^2 = 1{,}125$ Дж.
2. $|\Delta E| = 2 - 1{,}125 = 0{,}875$ Дж.

1. В момент наибольшего растяжения брусок останавливается: работа силы $F$ целиком перешла в энергию пружины (начальная и конечная кинетические энергии нулевые).
2. $Fx = \dfrac{kx^2}{2}$, откуда $x = \dfrac{2F}{k} = \dfrac{30}{100} = 0{,}3$ м.
3. $x = 30$ см — вдвое больше, чем растяжение в равновесии $F/k$: брусок проскакивает положение равновесия.

• Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей тела.
• Тело у Земли: $E_{\text{п}} = mgh$; пружина: $E_{\text{п}} = \dfrac{kx^2}{2}$.
• Работа консервативной силы $A = -\Delta E_{\text{п}}$ и не зависит от траектории; на замкнутом пути — ноль.
• Трение не консервативно.
• Смысл имеет изменение $E_{\text{п}}$; нулевой уровень выбирают произвольно.