Механика · 10 класс · урок 5 из 5 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 4, § 27–31; Мякишев, «Механика 10» (профильный), гл. 6, § 31

Упругие и неупругие соударения

Выход к заданиям: ЕГЭ №3, ЕГЭ №5, ЕГЭ №6, ЕГЭ №18, ЕГЭ №22, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать: Закон сохранения импульса, закон сохранения энергии
Зачем этот урок: ЕГЭ №26: удар с последующим подъёмом или петлёй — два закона сохранения подряд; №3 — скорость после слипания
Дальше: Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы

Работа и энергия · урок 5

Когда сохраняется энергия, а когда — только импульс

Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругий удар — удар, при котором механическая энергия соударяющихся тел сохраняется. Силы взаимодействия должны зависеть только от деформаций, а не от скоростей.

В замедленной съёмке видны две фазы. Сначала кинетическая энергия переходит в энергию упругой деформации шаров, относительная скорость падает до нуля. Потом шары восстанавливают форму, и энергия деформации снова становится кинетической.

Удар центральный, если скорости направлены по линии центров. Удар бильярдных шаров почти упругий: потери на звук и нагрев малы.

Скорости после упругого удара

Законы сохранения импульса и энергии на оси $OX$ (шары навстречу: $v_{1x} = v_1$ , $v_{2x} = -v_2$ ). Перепишем их как $m_1(v_1 - u_{1x}) = m_2(v_2 + u_{2x})$ и $m_1(v_1^2 - u_{1x}^2) = m_2(u_{2x}^2 - v_2^2)$ и разделим второе на первое: $v_1 + u_{1x} = u_{2x} - v_2$ . Отсюда

u_{1x} = \frac{(m_1 - m_2)v_1 - 2m_2v_2}{m_1 + m_2}, \qquad u_{2x} = \frac{2m_1v_1 - (m_2 - m_1)v_2}{m_1 + m_2}.

Эти формулы работают и для столкновений атомов и элементарных частиц.

Частные случаи упругого удара

Второй шар покоился: $u_1 = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ , $\;u_2 = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ .
$m_1 > m_2$ — первый шар продолжает движение медленнее; $m_1 < m_2$ — отскакивает назад. Второй всегда летит туда, куда шёл первый.
Равные массы: $u_1 = 0$ , $u_2 = v_1$ — шары обмениваются скоростями (колыбель Ньютона, бильярд).
Лёгкий шар о массивную стену ( $m_2 \gg m_1$ ): $u_1 = -v_1$ — отскакивает с той же по модулю скоростью.

Абсолютно неупругий удар

После абсолютно неупругого удара тела соединяются и движутся с общей скоростью: пуля в ящике с песком, автосцепка вагонов, пластилин о тележку.

Силы при таком ударе зависят от скорости деформации; когда скорости выравниваются, они исчезают. Часть механической энергии переходит во внутреннюю — закон сохранения механической энергии применять нельзя, только импульса:

m_1v_1 = (m_1 + m_2)u, \qquad \frac{W'}{W} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{1 + m_1/m_2}.

W'

— энергия, перешедшая во внутреннюю,

W

— начальная. Если неподвижное тело гораздо массивнее (

m_2 \gg m_1

), почти вся энергия уходит в тепло — поэтому кузнец бьёт по детали на тяжёлой наковальне.

Задачи на два закона подряд

Типичная задача №26: удар, потом движение после удара. Решаем по этапам:

Удар — короткое взаимодействие: сохраняется импульс (или его проекция). При неупругом ударе энергия не сохраняется.
После удара — движение с консервативными силами: сохраняется механическая энергия (подъём на нитях, петля, сжатие пружины).
Нельзя писать один закон сохранения энергии «от пули до высоты подъёма» — потеря энергии при ударе огромна.

ОпытУпругий удар равных масс

Тележка $2$ кг со скоростью $4$ м/с налетает на такую же покоящуюся; удар упругий.
До пуска: что будет с каждой тележкой после удара?
Нажми «Пуск». Потом сделай вторую тележку $6$ кг и сравни с формулами $u_1, u_2$ .
Выключи «Упругий удар»: какая доля кинетической энергии теперь пропала?

Равные массы при упругом ударе обмениваются скоростями. При неупругом ударе с равными массами половина энергии уходит в тепло:

\dfrac{W'}{W} = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2} = \dfrac12

ФизЛаб · Соударения тележекm₁ = m₂ = 2 кг, v₁ = 4 м/с, v₂ = 0, упругий ударmatfizliga.ru/fizlab/#collide?m1=2&m2=2&v1=4&v2=0&elastic=1

ЕГЭ, задание 3Пример 1

Пластилиновый шарик массой

100

г со скоростью

3

м/с сталкивается с таким же шариком, движущимся в ту же сторону со скоростью

2

м/с. Чему равна скорость шариков после абсолютно неупругого удара?

Импульс сохраняется: $mv_1 + mv_2 = 2mu$ .
$u = \dfrac{3 + 2}{2} = 2{,}5$ м/с.

Ответ: 2,5

ЕГЭ, задание 26Пример 2

Брусок массой

500

г соскальзывает с наклонной плоскости высотой

h

и на горизонтальном участке абсолютно неупруго сталкивается с неподвижным бруском

300

г. Общая кинетическая энергия после удара

2{,}5

Дж. Найдите

h

. Трения нет,

g = 10

м/с².

Спуск: энергия сохраняется, $v_1 = \sqrt{2gh}$ . Удар: импульс сохраняется, $m_1v_1 = (m_1 + m_2)v$ .
$E = \dfrac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = \dfrac{m_1^2v_1^2}{2(m_1 + m_2)} = \dfrac{m_1^2gh}{m_1 + m_2}$ .
$h = \dfrac{E(m_1 + m_2)}{m_1^2g} = \dfrac{2{,}5 \cdot 0{,}8}{0{,}25 \cdot 10} = 0{,}8$ м.

Ответ: 0,8

ЕГЭ, задание 26Пример 3

В шар массой

250

г, висящий на нити длиной

50

см, попадает и застревает горизонтально летящая пуля массой

10

г. При какой наименьшей скорости пули шар совершит полный оборот?

g = 10

м/с².

Верх окружности: нить не провисает, если $\dfrac{v_{\text{в}}^2}{l} \ge g$ , наименьшее $v_{\text{в}}^2 = gl$ .
После удара до верха — сохранение энергии: $\dfrac{V^2}{2} = \dfrac{v_{\text{в}}^2}{2} + 2gl$ , $V = \sqrt{5gl} = \sqrt{25} = 5$ м/с.
Удар — сохранение импульса: $mv = (m + M)V$ , $v = \dfrac{0{,}26 \cdot 5}{0{,}01} = 130$ м/с.

Ответ: 130

ЕГЭ, задание 26Пример 4

Пластилиновый шарик массой

0{,}5

кг на нити длиной

0{,}8

м отводят и отпускают; в нижней точке он абсолютно неупруго налетает на покоящийся брусок, и брусок приобретает скорость

0{,}4

м/с. Натяжение нити в момент удара

8{,}6

Н. Найдите массу бруска.

g = 10

м/с².

Нижняя точка: $T - mg = \dfrac{mv^2}{l}$ , $v^2 = \dfrac{(8{,}6 - 5) \cdot 0{,}8}{0{,}5} = 5{,}76$ , $v = 2{,}4$ м/с.
Неупругий удар (брусок и шарик движутся вместе): $mv = (m + M)u$ .
$M = \dfrac{mv}{u} - m = \dfrac{0{,}5 \cdot 2{,}4}{0{,}4} - 0{,}5 = 2{,}5$ кг.

Ответ: 2,5

Мякишев, § 31Пример 5

В ящик массой

10

кг на параллельных нитях попадает и застревает пуля массой

9

г, летящая горизонтально со скоростью

600

м/с. На какую высоту поднимется ящик?

g = 9{,}8

м/с².

Удар неупругий — только импульс: $mv_0 = (m + M)u$ , $u = \dfrac{0{,}009 \cdot 600}{10{,}009} \approx 0{,}54$ м/с.
После удара нити работы не совершают — энергия сохраняется: $h = \dfrac{u^2}{2g}$ .
$h \approx 0{,}015$ м $= 1{,}5$ см.

Ответ: $\approx 1{,}5$ см

Главное

Упругий удар: сохраняются импульс и механическая энергия; неупругий: только импульс, тела движутся вместе.
Покоящаяся мишень при упругом ударе: $u_1 = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ , $u_2 = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ ; равные массы обмениваются скоростями.
Неупругий удар: доля энергии в тепло $\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}$ .
Задачи «удар + подъём»: на ударе — импульс, после удара — энергия.

Упругие и неупругие соударения

Все уроки станции «Работа и энергия»