Закон сохранения механической энергии

Камень падает, сопротивления нет. Работа силы тяжести равна, с одной стороны, увеличению кинетической энергии, с другой — уменьшению потенциальной:

Механическая энергия системы — сумма кинетической и потенциальной энергий её тел.

• В замкнутой системе, где действуют только потенциальные силы, механическая энергия сохраняется.
• Механическая энергия не создаётся и не уничтожается, а только переходит из кинетической в потенциальную и обратно.
• Закон позволяет найти скорость на любой высоте, не зная траектории.

Пусть на камень, кроме тяжести, действует внешняя сила $F$ — например, натяжение верёвки. Второй закон в проекции на вертикаль и кинематика дают:

Силы трения внутри системы учитывают так же, как внешние: $E_2 - E_1 = A_{\text{тр}}$, и суммарная работа сил трения всегда отрицательна.

Пример: на тележку $M$, едущую со скоростью $v_0$ без трения, кладут кирпич $m$. Он скользит по ней на $l$, пока скорости не выровняются. Трение разгоняет кирпич (положительная работа) и тормозит тележку (отрицательная), а в сумме:

1. Работает только сила тяжести (реакция перпендикулярна скорости) — механическая энергия сохраняется: $\dfrac{mv_1^2}{2} + mgh = \dfrac{mv_2^2}{2}$.
2. $v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh} = \sqrt{25 + 200} = 15$ м/с.
3. Масса и форма горки не нужны.

1. В верхней точке скорость ноль, вся энергия — потенциальная.
2. $E_{\text{к}} = mgh = 0{,}6 \cdot 10 \cdot 8 = 48$ Дж.

1. Механическая энергия не сохраняется: $mgh = E_{\text{к}} + Q$.
2. $h = \dfrac{6 + 1}{0{,}1 \cdot 10} = 7$ м.

1. Изменение механической энергии равно работе сил сопротивления: $A_{\text{с}} = E_2 - E_1 = mgh - \dfrac{mv_0^2}{2}$.
2. $A_{\text{с}} = 0{,}1 \cdot 9{,}8 \cdot 10 - \dfrac{0{,}1 \cdot 225}{2} = 9{,}8 - 11{,}25 = -1{,}45$ Дж.

1. Убыль механической энергии равна модулю работы сопротивления: $F_{\text{с}}s = \dfrac{mv_1^2}{2} + mgh - \dfrac{mv_2^2}{2}$.
2. $= 2{,}5 \cdot 10^6 + 23{,}52 \cdot 10^6 - 0{,}625 \cdot 10^6 \approx 25{,}4 \cdot 10^6$ Дж.
3. $F_{\text{с}} = \dfrac{25{,}4 \cdot 10^6}{8000} \approx 3170$ Н $\approx 3{,}2$ кН.

• $E = E_{\text{к}} + E_{\text{п}}$; в замкнутой системе с потенциальными силами $E = \text{const}$.
• $\dfrac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \dfrac{mv_2^2}{2} + mgh_2$ — скорость на любой высоте без траектории.
• $\Delta E = A_{\text{внеш}}$; силы, перпендикулярные скорости, энергию не меняют.
• Трение уменьшает механическую энергию: $\Delta E = A_{\text{тр}} < 0$, энергия переходит во внутреннюю.
• Полная энергия (с теплом) сохраняется всегда.