Уравнения и неравенства · 11 класс · урок 1 из 5 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», гл. II § 7–13, § 7–8

Равносильные уравнения и уравнения-следствия

Выход к заданиям: ЕГЭ №14, ЕГЭ №16, ЕГЭ №19

Сначала нужно знать: Иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения
Зачем этот урок: ЕГЭ №14 и №16: почему нужна проверка и откуда берутся посторонние корни
Дальше: Равносильность уравнений и неравенств системам

Равносильность уравнений и неравенств · урок 1

Равносильность и следствия

Какие преобразования сохраняют корни, а какие добавляют посторонние

Равносильные уравнения

$x^3 - 1 = 0$ и $x^5 - 1 = 0$ равносильны: у каждого единственный корень $1$ . $\ x^2 + 1 = 0$ и $x^4 + 1 = 0$ — оба без корней.
$x^3 - 1 = 0$ и $x^2 - 1 = 0$ не равносильны: у второго ещё корень $-1$ .
Замена уравнения равносильным — равносильное преобразование; множество корней не меняется.

Два уравнения равносильны, если любой корень первого является корнем второго и любой корень второго — корнем первого, то есть совпадают множества их корней. Уравнения без корней равносильны.

Равносильные преобразования уравнений

1) Перенос члена в другую часть с противоположным знаком. 2) Умножение (деление) на число, отличное от нуля. 3) Применение тождеств, верных при всех $x \in \mathbb{R}$ .
4) Возведение в нечётную степень: $f = g \iff f^{2m+1} = g^{2m+1}$ .
5) Извлечение корня нечётной степени: $f^{2m+1} = g^{2m+1} \iff f = g$ .
6) Логарифмирование показательного уравнения: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ).
Доказательство 4). Если $f(x_0) = g(x_0)$ , то равны и нечётные степени этих чисел. Обратно, из $f^{2m+1}(x_1) = g^{2m+1}(x_1)$ следует равенство корней нечётной степени, то есть $f(x_1) = g(x_1)$ . Если одно уравнение корней не имеет, то и другое — иначе по доказанному появился бы корень.

Примеры равносильных переходов

$\sqrt[3]{12x^2 - 28x + 8} = 2 - x$ : куб — $12x^2 - 28x + 8 = (2 - x)^3$ , $x^3 + 6x^2 - 16x = 0$ , корни $-8;\ 0;\ 2$ — проверка не нужна.
$(x - 5)^{11} = (2x + 4)^{11}$ : корень 11-й степени — $x - 5 = 2x + 4$ , $x = -9$ .
$5^{x^2 - 2x} = 5^{x - 2}$ : $x^2 - 2x = x - 2$ , $x = 1;\ 2$ .
$5^{x + 1} = 2^{x + 2}$ : $2 = 5^{\log_5 2}$ , $x + 1 = (x + 2)\log_5 2$ , $x = \dfrac{2\log_5 2 - 1}{1 - \log_5 2} = \log_{2{,}5} 0{,}8$ .

Равносильные преобразования неравенств

Неравенства равносильны, если совпадают множества их решений: $x > 1$ и $x^3 > 1$ равносильны, $x > 1$ и $x^2 > 1$ — нет.
1)–3) Перенос, умножение на положительное число, тождества. 4), 5) Возведение в нечётную степень и извлечение корня нечётной степени — знак сохраняется.
6) $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ при $a > 1$ и $\iff f(x) < g(x)$ при $0 < a < 1$ .
Примеры: $x - 1 > \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 + 4x - 7}$ ⇔ $(x - 1)^3 > x^3 - 2x^2 + 4x - 7$ ⇔ $x^2 + x - 6 < 0$ : $(-3; 2)$ . $\ 3^{x^2 - x} < 9^{1 - x}$ ⇔ $x^2 - x < 2 - 2x$ : $(-2; 1)$ .
Нестрогое неравенство $f \ge g$ : объединяем решения уравнения $f = g$ и строгого $f > g$ . $\left(\tfrac34\right)^{1 - 2x} \ge \left(\tfrac34\right)^{5 - x}$ ⇔ $1 - 2x \le 5 - x$ : $[-4; +\infty)$ .

Уравнение-следствие

1) Возведение в чётную степень: $x = 1 \Rightarrow x^2 = 1$ (появился $-1$ ).
2) Потенцирование $\log_a f = \log_a g \Rightarrow f = g$ : $\lg(x^2 - 4) = \lg(4x - 7) \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$ , корень $1$ посторонний.
3) Освобождение от знаменателя $\dfrac fg = 0 \Rightarrow f = 0$ : $\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0$ , корень $1$ посторонний.
4) Приведение подобных $\varphi - \varphi = 0$ : $x + 1 + \sqrt{x} - \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0$ — корень $-1$ посторонний: $\sqrt{-1}$ не определён.
5) Формулы с расширением области: $\sqrt{x}\sqrt{x + 3} = 2 \Rightarrow \sqrt{x(x + 3)} = 2$ даёт посторонний $-4$ ; $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3 \Rightarrow \log_2(x^2 - 1) = 3$ даёт посторонний $-3$ . Применённые в обратную сторону, те же формулы теряют корни — так делать нельзя.

Если любой корень уравнения

f = g

является корнем уравнения

p = \varphi

, то второе называют следствием первого. При переходе к следствию корни не теряются, но могут появиться посторонние — поэтому проверка обязательна.

Примеры из учебника

$\sqrt{3x + 7} = x + 1$ : $(x + 1)^2 = 3x + 7$ , $x = 3$ или $x = -2$ ; проверка оставляет $3$ .
$|x^2 - 3x - 1| = x^2 - 2x - 2$ : квадрат и разность квадратов дают $3;\ 1;\ -0{,}5$ ; проверка оставляет $3$ .
$\log_2(x^5 + x^2 - 4) = \log_2(x^5 + 4x - 7)$ : $x^2 - 4x + 3 = 0$ ; при $x = 1$ аргумент $-2$ — посторонний; ответ $3$ .
$\log_2(3x + 1) + \log_2(x - 1) = 2\log_2(x + 3)$ : $(3x + 1)(x - 1) = (x + 3)^2$ , $x = 5$ или $x = -1$ ; проверка оставляет $5$ .

Никольский, № 8.5Пример 1

Решите уравнение

\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{3x + 1}

Квадрат (следствие): $2x - 3 + 2\sqrt{(x + 1)(x - 4)} = 3x + 1$ , то есть $2\sqrt{(x + 1)(x - 4)} = x + 4$ .
Ещё раз квадрат: $4(x + 1)(x - 4) = (x + 4)^2$ , $3x^2 - 20x - 32 = 0$ , $x = 8$ или $x = -\tfrac43$ .
Проверка: $x = 8$ : $3 + 2 = 5 = \sqrt{25}$ — корень; при $x = -\tfrac43$ не определён $\sqrt{x - 4}$ .

Ответ: 8

ЕГЭ, задание 14 (а)Пример 2

Решите уравнение

\sqrt{x + 4} = x^2 - 4

Квадрат (следствие): $x + 4 = (x^2 - 4)^2$ , $x^4 - 8x^2 - x + 12 = 0$ , $(x^2 + x - 3)(x^2 - x - 4) = 0$ .
Корни: $\dfrac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ , $\dfrac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ . Проверка — условие $x^2 - 4 \ge 0$ , то есть $|x| \ge 2$ .
$\dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \approx -2{,}30$ и $\dfrac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2{,}56$ подходят; два других по модулю меньше $2$ — посторонние.

Ответ: $\dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2};\ \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$

ЕГЭ, задание 14 (а)Пример 3

Решите уравнение

x - 3\sqrt{x - 1} + 1 = 0

$t = \sqrt{x - 1} \ge 0$ , $x = t^2 + 1$ : $t^2 - 3t + 2 = 0$ , $t = 1$ или $t = 2$ — оба неотрицательны.
$x = 2$ или $x = 5$ . Замена равносильна, проверка подтверждает оба корня.

Ответ: $2;\ 5$

ЕГЭ, задание 7Пример 4

Решите уравнение

\log_5\left(x^2 + 2x\right) = \log_5\left(x^2 + 10\right)

Потенцирование (следствие): $x^2 + 2x = x^2 + 10$ , $x = 5$ .
Проверка: $x^2 + 10 = 35 > 0$ — корень.

Ответ: 5

Главное

Равносильные переходы: перенос, умножение на число $\ne 0$ , тождества, нечётная степень, логарифмирование показательного.
Чётная степень, потенцирование, отбрасывание знаменателя, формулы с расширением области — следствие, проверка обязательна.
Формулы, сужающие область, теряют корни — их не применяем.
Нестрогое неравенство = уравнение ∪ строгое неравенство.

Равносильные уравнения и уравнения-следствия

Все уроки станции «Равносильность уравнений и неравенств»