Уравнения и неравенства · 11 класс · урок 2 из 5 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», гл. II § 7–13, § 9
Равносильность системам Выход к заданиям: ЕГЭ №14 , ЕГЭ №16 , ЕГЭ №19
Сначала нужно знать Равносильные уравнения и уравнения-следствия Зачем этот урок ЕГЭ №14 и №16: запись решения через системы и совокупности без проверки Дальше Равносильность на множествах Равносильность уравнений и неравенств · урок 2
Равносильность системам
Системы и совокупности вместо проверки корней
Системы и совокупности Система — несколько уравнений и неравенств, которым x x x должен удовлетворять одновременно ; пишется с фигурной скобкой { \{ { . Решить систему — найти все её решения или показать, что их нет. Уравнение равносильно системе , если множества их решений совпадают: log 2 ( 3 x − 1 ) ≤ 1 ⟺ { 3 x − 1 > 0 , 3 x − 1 ≤ 2. \log_2(3x - 1) \le 1 \iff \begin{cases} 3x - 1 > 0,\\ 3x - 1 \le 2.\end{cases} log 2 ( 3 x − 1 ) ≤ 1 ⟺ { 3 x − 1 > 0 , 3 x − 1 ≤ 2. Совокупность — достаточно выполнения хотя бы одного условия (квадратная скобка [ [ [ ): решения — объединение. ∣ x ∣ > 2 ⟺ [ x > 2 , x < − 2. |x| > 2 \iff \left[\begin{array}{l} x > 2,\\ x < -2.\end{array}\right. ∣ x ∣ > 2 ⟺ [ x > 2 , x < − 2. ∣ x + 1 ∣ = 2 x − 3 ⟺ [ { x + 1 ≥ 0 , x + 1 = 2 x − 3 , { x + 1 < 0 , − x − 1 = 2 x − 3. |x + 1| = 2x - 3 \iff \left[\begin{array}{l}\begin{cases} x + 1 \ge 0,\\ x + 1 = 2x - 3,\end{cases}\\ \begin{cases} x + 1 < 0,\\ -x - 1 = 2x - 3.\end{cases}\end{array}\right. ∣ x + 1∣ = 2 x − 3 ⟺ { x + 1 ≥ 0 , x + 1 = 2 x − 3 , { x + 1 < 0 , − x − 1 = 2 x − 3. Уравнения, равносильные системам 1) Условие f ≥ 0 f \ge 0 f ≥ 0 в первой системе писать не нужно: f = g 2 m ≥ 0 f = g^{2m} \ge 0 f = g 2 m ≥ 0 автоматически. 2) f 2 m = g 2 m ⟺ f = g , g ≥ 0 \sqrt[2m]{f} = \sqrt[2m]{g} \iff f = g,\ g \ge 0 2 m f = 2 m g ⟺ f = g , g ≥ 0 . 3) В логарифмической системе достаточно положительности одной части. 4) f + φ − φ = 0 ⟺ f = 0 , x ∈ D ( φ ) f + \varphi - \varphi = 0 \iff f = 0,\ x \in D(\varphi) f + φ − φ = 0 ⟺ f = 0 , x ∈ D ( φ ) — область существования φ \varphi φ . 5) f 1 ⋅ f 2 = 0 f_1\cdot f_2 = 0 f 1 ⋅ f 2 = 0 ⇔ совокупность: { f 1 = 0 , x ∈ D ( f 2 ) \begin{cases} f_1 = 0,\\ x \in D(f_2)\end{cases} { f 1 = 0 , x ∈ D ( f 2 ) или { f 2 = 0 , x ∈ D ( f 1 ) . \begin{cases} f_2 = 0,\\ x \in D(f_1).\end{cases} { f 2 = 0 , x ∈ D ( f 1 ) . Доказательство: x 0 x_0 x 0 — корень ⇔ оба выражения определены и хотя бы одно равно нулю. Примеры из учебника 2 x + 29 = 3 − x ⟺ { 2 x + 29 = ( 3 − x ) 2 , 3 − x ≥ 0 \sqrt{2x + 29} = 3 - x \iff \begin{cases} 2x + 29 = (3 - x)^2,\\ 3 - x \ge 0\end{cases} 2 x + 29 = 3 − x ⟺ { 2 x + 29 = ( 3 − x ) 2 , 3 − x ≥ 0 : x 2 − 8 x − 20 = 0 x^2 - 8x - 20 = 0 x 2 − 8 x − 20 = 0 , x = − 2 x = -2 x = − 2 или 10 10 10 ; условию x ≤ 3 x \le 3 x ≤ 3 удовлетворяет − 2 -2 − 2 . lg ( x 2 − 4 ) = lg ( 6 x + 4 ) ⟺ { x 2 − 4 = 6 x + 4 , 6 x + 4 > 0 \lg(x^2 - 4) = \lg(6x + 4) \iff \begin{cases} x^2 - 4 = 6x + 4,\\ 6x + 4 > 0\end{cases} lg ( x 2 − 4 ) = lg ( 6 x + 4 ) ⟺ { x 2 − 4 = 6 x + 4 , 6 x + 4 > 0 : x = 3 ± 17 x = 3 \pm \sqrt{17} x = 3 ± 17 ; 6 ( 3 − 17 ) + 4 < 0 6(3 - \sqrt{17}) + 4 < 0 6 ( 3 − 17 ) + 4 < 0 , ответ 3 + 17 3 + \sqrt{17} 3 + 17 . x ( x + 1 ) = 0 \sqrt{x}(x + 1) = 0 x ( x + 1 ) = 0 : { x = 0 x ∈ R \begin{cases} x = 0\\ x \in \mathbb{R}\end{cases} { x = 0 x ∈ R или { x + 1 = 0 x ≥ 0 \begin{cases} x + 1 = 0\\ x \ge 0\end{cases} { x + 1 = 0 x ≥ 0 (решений нет). Ответ 0 0 0 . x 2 − 4 x + 3 x − 2 = 0 ⟺ { x 2 − 4 x + 3 = 0 , x − 2 ≠ 0 \dfrac{x^2 - 4x + 3}{\sqrt{x - 2}} = 0 \iff \begin{cases} x^2 - 4x + 3 = 0,\\ \sqrt{x - 2} \ne 0\end{cases} x − 2 x 2 − 4 x + 3 = 0 ⟺ { x 2 − 4 x + 3 = 0 , x − 2 = 0 : x = 1 x = 1 x = 1 не подходит ( − 1 \sqrt{-1} − 1 не определён), ответ 3 3 3 . Уравнения вида f(α(x)) = f(β(x)) Доказательство. Если u 1 = α ( x 0 ) < u 2 = β ( x 0 ) u_1 = \alpha(x_0) < u_2 = \beta(x_0) u 1 = α ( x 0 ) < u 2 = β ( x 0 ) , то для возрастающей f f f было бы f ( u 1 ) < f ( u 2 ) f(u_1) < f(u_2) f ( u 1 ) < f ( u 2 ) — противоречие; так же для u 1 > u 2 u_1 > u_2 u 1 > u 2 . Значит, α ( x 0 ) = β ( x 0 ) \alpha(x_0) = \beta(x_0) α ( x 0 ) = β ( x 0 ) . Обратное очевидно. arccos ( x 2 − 15 ) = arccos ( x + 5 ) \arccos(x^2 - 15) = \arccos(x + 5) arccos ( x 2 − 15 ) = arccos ( x + 5 ) : arccos \arccos arccos убывает на [ − 1 ; 1 ] [-1; 1] [ − 1 ; 1 ] : x 2 − 15 = x + 5 x^2 - 15 = x + 5 x 2 − 15 = x + 5 , − 1 ≤ x + 5 ≤ 1 -1 \le x + 5 \le 1 − 1 ≤ x + 5 ≤ 1 . Корни − 4 -4 − 4 и 5 5 5 , условию удовлетворяет − 4 -4 − 4 . Частный случай — f f f монотонна на всей оси: f ( α ) = f ( β ) ⟺ α = β f(\alpha) = f(\beta) \iff \alpha = \beta f ( α ) = f ( β ) ⟺ α = β ( a α = a β a^\alpha = a^\beta a α = a β , α 3 + α = β 3 + β \alpha^3 + \alpha = \beta^3 + \beta α 3 + α = β 3 + β и т. п.). Если функция f ( u ) f(u) f ( u ) определена на промежутке M M M и строго монотонна на нём, то f ( α ( x ) ) = f ( β ( x ) ) ⟺ { α ( x ) = β ( x ) , α ( x ) ∈ M . f(\alpha(x)) = f(\beta(x)) \iff \begin{cases} \alpha(x) = \beta(x),\\ \alpha(x) \in M.\end{cases} f ( α ( x )) = f ( β ( x )) ⟺ { α ( x ) = β ( x ) , α ( x ) ∈ M . Неравенства, равносильные системам f 2 m < g 2 m ⟺ 0 ≤ f < g \sqrt[2m]{f} < \sqrt[2m]{g} \iff 0 \le f < g 2 m f < 2 m g ⟺ 0 ≤ f < g . log a f > log a g ⟺ f > g > 0 \ \log_a f > \log_a g \iff f > g > 0 log a f > log a g ⟺ f > g > 0 при a > 1 a > 1 a > 1 ; ⟺ 0 < f < g \iff 0 < f < g ⟺ 0 < f < g при 0 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1 . f ⋅ g > 0 f\cdot g > 0 f ⋅ g > 0 и f g > 0 \dfrac fg > 0 g f > 0 ⇔ { f > 0 g > 0 \begin{cases} f > 0\\ g > 0\end{cases} { f > 0 g > 0 или { f < 0 g < 0 ; \begin{cases} f < 0\\ g < 0;\end{cases} { f < 0 g < 0 ; f ⋅ g < 0 \ f\cdot g < 0 f ⋅ g < 0 — разные знаки. Пример. 5 x + 1 > 2 x − 2 \sqrt{5x + 1} > 2x - 2 5 x + 1 > 2 x − 2 : первая система 5 x + 1 > ( 2 x − 2 ) 2 5x + 1 > (2x - 2)^2 5 x + 1 > ( 2 x − 2 ) 2 , x ≥ 1 x \ge 1 x ≥ 1 ⇒ 4 x 2 − 13 x + 3 < 0 4x^2 - 13x + 3 < 0 4 x 2 − 13 x + 3 < 0 , 1 ≤ x < 3 1 \le x < 3 1 ≤ x < 3 ; вторая 5 x + 1 ≥ 0 5x + 1 \ge 0 5 x + 1 ≥ 0 , x < 1 x < 1 x < 1 ⇒ − 0,2 ≤ x < 1 -0{,}2 \le x < 1 − 0 , 2 ≤ x < 1 . Ответ [ − 0,2 ; 3 ) [-0{,}2; 3) [ − 0 , 2 ; 3 ) . log 0,5 ( x 3 − x 2 − 2 x ) > log 0,5 ( x 3 − 3 ) ⟺ 0 < x 3 − x 2 − 2 x < x 3 − 3 \log_{0{,}5}(x^3 - x^2 - 2x) > \log_{0{,}5}(x^3 - 3) \iff 0 < x^3 - x^2 - 2x < x^3 - 3 log 0 , 5 ( x 3 − x 2 − 2 x ) > log 0 , 5 ( x 3 − 3 ) ⟺ 0 < x 3 − x 2 − 2 x < x 3 − 3 : x 2 + 2 x − 3 > 0 x^2 + 2x - 3 > 0 x 2 + 2 x − 3 > 0 и x ( x + 1 ) ( x − 2 ) > 0 x(x + 1)(x - 2) > 0 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) > 0 — ответ ( 2 ; + ∞ ) (2; +\infty) ( 2 ; + ∞ ) . Никольский, п. 9.4 Пример 1
Решите уравнение ( 1 2 ) x 2 − 2 x + 5 − x 2 − 2 x + 5 9 = ( 1 2 ) 2 x 2 − 3 x − 1 − 2 x 2 − 3 x − 1 9 \left(\dfrac12\right)^{x^2 - 2x + 5} - \sqrt[9]{x^2 - 2x + 5} = \left(\dfrac12\right)^{2x^2 - 3x - 1} - \sqrt[9]{2x^2 - 3x - 1} ( 2 1 ) x 2 − 2 x + 5 − 9 x 2 − 2 x + 5 = ( 2 1 ) 2 x 2 − 3 x − 1 − 9 2 x 2 − 3 x − 1 . Уравнение имеет вид f ( α ( x ) ) = f ( β ( x ) ) f(\alpha(x)) = f(\beta(x)) f ( α ( x )) = f ( β ( x )) , где f ( u ) = ( 1 2 ) u − u 9 f(u) = \left(\tfrac12\right)^u - \sqrt[9]{u} f ( u ) = ( 2 1 ) u − 9 u определена на R \mathbb{R} R (корень нечётной степени). f f f убывает на R \mathbb{R} R как сумма убывающих функций ( 1 2 ) u \left(\tfrac12\right)^u ( 2 1 ) u и − u 9 -\sqrt[9]{u} − 9 u . Поэтому уравнение равносильно x 2 − 2 x + 5 = 2 x 2 − 3 x − 1 x^2 - 2x + 5 = 2x^2 - 3x - 1 x 2 − 2 x + 5 = 2 x 2 − 3 x − 1 . x 2 − x − 6 = 0 x^2 - x - 6 = 0 x 2 − x − 6 = 0 : x = − 2 x = -2 x = − 2 или x = 3 x = 3 x = 3 . ЕГЭ, задание 16 Пример 2
Решите неравенство ( x 2 − x − 6 ) 8 − x ≤ 0 \left(x^2 - x - 6\right)\sqrt{8 - x} \le 0 ( x 2 − x − 6 ) 8 − x ≤ 0 . Совокупность: 8 − x = 0 \sqrt{8 - x} = 0 8 − x = 0 (то есть x = 8 x = 8 x = 8 ) или { x 2 − x − 6 ≤ 0 , 8 − x > 0. \begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0,\\ 8 - x > 0.\end{cases} { x 2 − x − 6 ≤ 0 , 8 − x > 0. ( x − 3 ) ( x + 2 ) ≤ 0 (x - 3)(x + 2) \le 0 ( x − 3 ) ( x + 2 ) ≤ 0 : − 2 ≤ x ≤ 3 -2 \le x \le 3 − 2 ≤ x ≤ 3 — все такие x x x меньше 8 8 8 . Объединяем: [ − 2 ; 3 ] ∪ { 8 } [-2; 3] \cup \{8\} [ − 2 ; 3 ] ∪ { 8 } . Ответ:
[ − 2 ; 3 ] ∪ { 8 } [-2; 3] \cup \{8\} [ − 2 ; 3 ] ∪ { 8 } ЕГЭ, задание 14 (а) Пример 3
Решите уравнение ( x 2 + 2 x − 7 − 1 ) ⋅ log 3 ( 9 + 2 x − x 2 ) = 0 \left(\sqrt{x^2 + 2x - 7} - 1\right)\cdot\log_3\left(9 + 2x - x^2\right) = 0 ( x 2 + 2 x − 7 − 1 ) ⋅ log 3 ( 9 + 2 x − x 2 ) = 0 . Совокупность систем: { x 2 + 2 x − 7 = 1 , 9 + 2 x − x 2 > 0 \begin{cases} \sqrt{x^2 + 2x - 7} = 1,\\ 9 + 2x - x^2 > 0\end{cases} { x 2 + 2 x − 7 = 1 , 9 + 2 x − x 2 > 0 или { log 3 ( 9 + 2 x − x 2 ) = 0 , x 2 + 2 x − 7 ≥ 0. \begin{cases} \log_3(9 + 2x - x^2) = 0,\\ x^2 + 2x - 7 \ge 0.\end{cases} { log 3 ( 9 + 2 x − x 2 ) = 0 , x 2 + 2 x − 7 ≥ 0. Первая: x 2 + 2 x − 8 = 0 x^2 + 2x - 8 = 0 x 2 + 2 x − 8 = 0 , x = 2 x = 2 x = 2 или − 4 -4 − 4 ; 9 + 4 − 4 > 0 9 + 4 - 4 > 0 9 + 4 − 4 > 0 , но 9 − 8 − 16 < 0 9 - 8 - 16 < 0 9 − 8 − 16 < 0 — остаётся x = 2 x = 2 x = 2 . Вторая: 9 + 2 x − x 2 = 1 9 + 2x - x^2 = 1 9 + 2 x − x 2 = 1 , x = 4 x = 4 x = 4 или − 2 -2 − 2 ; 16 + 8 − 7 > 0 16 + 8 - 7 > 0 16 + 8 − 7 > 0 , 4 − 4 − 7 < 0 4 - 4 - 7 < 0 4 − 4 − 7 < 0 — остаётся x = 4 x = 4 x = 4 . Главное Система — «и», совокупность — «или». f 2 m = g ⟺ f = g 2 m , g ≥ 0 \sqrt[2m]{f} = g \iff f = g^{2m},\ g \ge 0 2 m f = g ⟺ f = g 2 m , g ≥ 0 ; log a f = log a g ⟺ f = g > 0 \log_a f = \log_a g \iff f = g > 0 log a f = log a g ⟺ f = g > 0 . f 1 f 2 = 0 f_1f_2 = 0 f 1 f 2 = 0 : каждый множитель равен нулю при условии, что другой определён. Монотонная f f f : f ( α ) = f ( β ) ⟺ α = β f(\alpha) = f(\beta) \iff \alpha = \beta f ( α ) = f ( β ) ⟺ α = β на области определения. ← Равносильные уравнения и уравнения-следствия Равносильность на множествах →