Метод промежутков

Ось разбивают на промежутки и на каждом решают задачу отдельно. Для модулей $|f_1(x)|, \dots, |f_n(x)|$ точки деления — корни уравнений $f_i(x) = 0$; каждый конец включают в один из соседних промежутков.

Если все $f_i$ непрерывны, на каждом промежутке они сохраняют знак, и $|f_i| = f_i$ или $|f_i| = -f_i$. Получаем уравнение без модулей, равносильное исходному на этом промежутке, решаем и отбираем корни из промежутка. Ответ — объединение.

• Всегда $|f| \ge f$, $|g| \ge g$; равенство суммы возможно, только если оба равенства верны.
• $|2x - 4| + |3x - 15| = 2x - 3x + 11$: $f = 2x - 4$, $g = 15 - 3x$, $f + g = -x + 11$ — ответ $[2; 5]$.
• Неравенство $|x^2 - 4| + |x + 1| - 3 > 0$: точки $-2, -1, 2$. На $(-\infty; -2]$: $x^2 - x - 8 > 0$, $x < \tfrac{1 - \sqrt{33}}{2}$; на $(-2; -1)$ решений нет; на $[-1; 2)$: $-x^2 + x + 2 > 0$, $(-1; 2)$; на $[2; +\infty)$: $x^2 + x - 6 > 0$, $x > 2$.
• Ответ: $\left(-\infty; \tfrac{1 - \sqrt{33}}{2}\right) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

• Решаем $f(x) > 0$ (или $< 0$). Область существования $M$ — объединение конечного числа промежутков, на каждом $f$ непрерывна и имеет конечное число нулей.
• 1) Проверяем концы отрезков и полуинтервалов, входящие в $M$. 2) Исключаем их и нули $f$ — остаются интервалы.
• 3) На каждом интервале непрерывная функция без нулей сохраняет знак — определяем его по одной пробной точке.
• 4) Ответ — интервалы нужного знака плюс подходящие концы; для нестрогого неравенства добавляем нули $f$.
• Множители любой природы — корни, логарифмы, показательные — обрабатываются одинаково: важны только непрерывность на промежутках области и нули.

1. Точки $-3$ и $2$. $x < -3$: $-6x - 9 \le 12 + x$, $x \ge -3$ — решений нет.
2. $-3 \le x \le 2$: $9 \le 12 + x$, $x \ge -3$ — весь отрезок $[-3; 2]$.
3. $x > 2$: $9 \le 16 - x$, $x \le 7$ — промежуток $(2; 7]$.

1. Точки $-8$ и $1$. $x < -8$: $3x + x + 8 - 1 + x = 5x + 7 \le -6$, $x \le -2{,}6$ — все $x < -8$.
2. $-8 \le x \le 1$: $3x - x - 8 - 1 + x = 3x - 9 \le -6$, $x \le 1$ — весь отрезок.
3. $x > 1$: $3x - x - 8 - x + 1 = x - 7 \le -6$, $x \le 1$ — решений нет.

1. Точки $-1$ и $2$. $x < -1$: $-3x - 3 + \tfrac12(2 - x) - \tfrac32x = -5x - 2 \le 8$, $x \ge -2$: $[-2; -1)$.
2. $-1 \le x \le 2$: $3x + 3 + \tfrac12(2 - x) - \tfrac32x = x + 4 \le 8$, $x \le 4$: весь отрезок $[-1; 2]$.
3. $x > 2$: $3x + 3 + \tfrac12(x - 2) - \tfrac32x = 2x + 2 \le 8$, $x \le 3$: $(2; 3]$.

1. Числитель $\ge 0 \iff |x^2 - 2x - 1| \ge 2$: $x^2 - 2x - 3 \ge 0$ ($x \le -1$ или $x \ge 3$) или $x^2 - 2x + 1 \le 0$ ($x = 1$).
2. Нули числителя $-1;\ 1;\ 3$, знаменатель $0$. Знаки дроби: $(-\infty; -1)$ «−», $(-1; 0)$ «+», $(0; 1)$ и $(1; 3)$ «−», $(3; +\infty)$ «+».
3. С нулями числителя: $[-1; 0) \cup \{1\} \cup [3; +\infty)$.

• Нули подмодульных выражений делят ось; на каждом промежутке раскрываем модули и отбираем решения.
• $|f| + |g| = f + g \iff f \ge 0,\ g \ge 0$.
• Метод интервалов работает для любых непрерывных функций: область, нули, знак на каждом интервале.
• Нестрогое неравенство — не забываем нули и изолированные точки.