Числовые неравенства, модуль, множества чисел

• Правило 1. Для любых чисел $a$ и $b$ верно ровно одно из соотношений $a = b$, $a > b$, $a < b$.
• Правило 2. Если $a < b$, найдётся число $c$, для которого $a < c < b$. Например, $1{,}2 < 1{,}22 < 1{,}3$.
• Правило 3 (транзитивность). Из $a < b$ и $b < c$ следует $a < c$.
• Правило 4. Из $a < b$ следует $a + c < b + c$ — к обеим частям можно прибавить одно и то же число.
• Правило 5. Из $a < b$ и $c > 0$ следует $ac < bc$ — обе части можно умножить на одно и то же положительное число.

• Свойство 1. Верные одноимённые неравенства можно почленно складывать. Доказательство: по правилу 4 из $a < b$ получаем $a + c < b + c$, а из $c < d$ получаем $b + c < b + d$; по правилу 3 $a + c < b + d$.
• Свойство 2. Верные одноимённые неравенства с положительными частями можно почленно перемножать. По правилу 5: $ac < bc$ и $bc < bd$, значит, $ac < bd$.

• Свойство 3. Если $a < b$, то $-a > -b$. Прибавим к обеим частям $(-a - b)$: $\ a + (-a - b) < b + (-a - b)$, то есть $-b < -a$.
• Свойство 4. Если $c < 0$ и $a < b$, то $ac > bc$. По свойству 3 $-a > -b$; умножим на положительное $-c$: $(-a)(-c) > (-b)(-c)$, то есть $ac > bc$.
• Свойство 5. Если $0 < a < b$, то $\dfrac1a > \dfrac1b$. Умножим $a < b$ на положительное $\dfrac{1}{ab}$: получим $\dfrac1b < \dfrac1a$.

Нестрогие неравенства. $a \le b$ означает: либо $a < b$, либо $a = b$. Неравенства $5 \le 6$ и $4 \ge 2^2$ верные. Правила 3–5 и свойства 1–7 верны и для нестрогих неравенств.

Записи $a < b < c$, $\ a \le b < c$ и т. п. называют двойными неравенствами.

• Свойство 6. Если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$ — это свойство 2 при $c = a$, $d = b$.
• Свойство 7. Если $a > 0$, $b > 0$ и $a^2 > b^2$, то $a > b$.
• Доказательство от противного. Если $a = b$, то $a^2 = b^2$ — противоречие. Если $a < b$, то по свойству 6 $a^2 < b^2$ — противоречие. По правилу 1 остаётся $a > b$.

На координатной оси $|a|$ — расстояние от точки $a$ до начала координат: $|0| = 0$, $|3| = OA = 3$, $|{-3}| = OC = 3$, $|{-2}| = OB = 2$.

Если $|a| \ne 0$, то чисел с таким модулем ровно два: $|a| = 3$ при $a = 3$ и $a = -3$.

• $|{-a}| = |a|$; $\qquad a \le |a|$.
• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$; $\qquad \left|\dfrac ab\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$, $\ b \ne 0$.
• $|a + b| \le |a| + |b|$; $\qquad |a - b| \le |a| + |b|$.

1. а) Модуль равен $7$ только у чисел $7$ и $-7$.
2. б) $2x - 3 = 9$ или $2x - 3 = -9$: $\ x = 6$ или $x = -3$.
3. в) Модули двух чисел равны, когда числа равны или противоположны: $2x - 1 = 3x - 4$ даёт $x = 3$; $\ 2x - 1 = -(3x - 4)$ даёт $x = 1$.
4. г) $|x| - 3 = \pm 1$, то есть $|x| = 2$ или $|x| = 4$: $\ x = \pm2$, $x = \pm4$.

1. $|2x - 5| - 1 = 7$ или $|2x - 5| - 1 = -7$, то есть $|2x - 5| = 8$ или $|2x - 5| = -6$.
2. Второе невозможно: модуль не бывает отрицательным.
3. $2x - 5 = 8$ даёт $x = 6{,}5$; $\ 2x - 5 = -8$ даёт $x = -1{,}5$.

Отрезок $[-1;\ 3]$ — все $x$, для которых $-1 \le x \le 3$. Интервал $(0;\ 1)$ — все $x$ с $0 < x < 1$; концы $0$ и $1$ не входят.

Запись $x \to +\infty$ читают «$x$ стремится к плюс бесконечности»: $x$ принимает сколь угодно большие значения.

1. По рисунку $-5 < a < -4$.
2. 1) $a + 4 < 0$ — неверно. 2) $a + 5 > 0$ — неверно.
3. 3) $a < 2$, значит, $2 - a > 0$ — верно. 4) $3 - a > 0$ — неверно.

1. По рисунку $a < 0 < b$ и $|a| > |b|$.
2. 1) $b^2 > 0$, $a < 0$, значит, $ab^2 < 0$ — утверждение неверно.
3. 2) $b > a$ — верно. 3) числа разных знаков — верно. 4) $|a| > |b|$ и $a < 0$ — верно.

1. $3 = \dfrac{57}{19}$, $\ 4 = \dfrac{76}{19}$. Нужна дробь $\dfrac{n}{19}$ с $57 \le n \le 76$.
2. Подходит только $n = 68$.

• К обеим частям неравенства можно прибавить число; умножение на положительное сохраняет знак, на отрицательное — меняет.
• Одноимённые неравенства складываются; с положительными частями — перемножаются.
• $|a|$ — расстояние до нуля; $|x| = a > 0 \iff x = \pm a$.
• Промежутки: $[a;\ b]$ — с концами, $(a;\ b)$ — без концов; на рисунке закрашенный и пустой кружок.