Понятие функции и её графика

Две взаимно перпендикулярные оси $Ox$ и $Oy$ с общим началом $O$ и равными единичными отрезками задают прямоугольную (декартову) систему координат — по имени Р. Декарта. $Ox$ — ось абсцисс, $Oy$ — ось ординат.

Через точку $A$ проводят прямые, параллельные осям. Они пересекают $Ox$ в точке с координатой $x$ — абсцисса $A$, и $Oy$ в точке с координатой $y$ — ордината. Пишут $A(x;\ y)$: на первом месте абсцисса.

Объём куба $V = a^3$ ($a > 0$): каждой длине ребра соответствует определённый объём. Путь $s = 80t$ ($t \ge 0$): каждому моменту времени — определённый путь.

Пусть $M$ — множество чисел и каждому $x$ из $M$ по некоторому закону поставлено в соответствие единственное число $y$. Тогда говорят, что $y$ есть функция от $x$, определённая на множестве $M$.

$x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (функция), $M$ — область определения. Определение предложили Н. И. Лобачевский и П. Дирихле.

• $y = f(x)$, $\ x \in M$: буква $f$ — правило, по которому получают $y$.
• Значение функции в точке $x_0$ — число $f(x_0)$. Для $f(x) = 2x$: $\ f(1) = 2$, $f(-3) = -6$.
• Область значений — все значения, которые принимает функция.
• Функцию задают формулой ($y = 3x - 4$), таблицей (температура по часам), графиком.

1. а) $y(3) = 2 \cdot 3 + 7 = 13$; $\ y(-2) = -4 + 7 = 3$; $\ y(0) = 7$.
2. б) Решаем $2x - 5 = y$: $\ x = \dfrac{y + 5}{2}$.
3. $y = 5$: $x = 5$; $\ y = -3$: $x = 1$; $\ y = 0$: $x = 2{,}5$; $\ y = -5$: $x = 0$.

Графиком функции $y = f(x)$ называют множество точек координатной плоскости вида $(x;\ f(x))$, где $x$ — любое число из области определения.

Отсюда главный способ проверки: точка $(x_0;\ y_0)$ лежит на графике тогда и только тогда, когда $y_0 = f(x_0)$.

Например, точка $(-1{,}2;\ 1{,}44)$ лежит на графике $y = x^2$: $(-1{,}2)^2 = 1{,}44$. А точка $(3;\ 10)$ на графике $y = x$ не лежит: $10 \ne 3$.

1. Проверяем по точкам. А) все точки имеют ординату $-2$ — это $y = -2$, формула 1.
2. Б) прямая проходит через $O(0;\ 0)$ и $(1;\ -2)$: подходит $y = -2x$ ($-2 \cdot 1 = -2$), формула 3.
3. В) проходит через $(0;\ -2)$ и $(2;\ 0)$: $\ 0 - 2 = -2$, $\ 2 - 2 = 0$ — это $y = x - 2$, формула 2.

• Точка $A(x;\ y)$: абсцисса — первая, ордината — вторая; знаки координат задают четверть.
• Функция: каждому $x$ из области определения — единственное $y$; $f(x_0)$ — значение в точке.
• График — все точки $(x;\ f(x))$; точка лежит на графике $\iff$ её координаты удовлетворяют формуле.
• Непрерывная функция рисуется без отрыва карандаша; бывают функции с разрывом.