Функции · 8 класс · урок 3 из 3 · Никольский, «Алгебра 8», § 1–2, § 2

Функции y = x, y = x², y = 1/x

Выход к заданиям: ОГЭ №7, ОГЭ №11, ОГЭ №22

Сначала нужно знать: Понятие функции и графика, свойства неравенств
Зачем этот урок: ОГЭ №11: по виду графика узнать функцию — прямая, парабола, гипербола
Дальше: Линейная функция

Функции и графики · урок 3

Свойства, графики: прямая, парабола, гипербола

Функция y = x

Пусть $A(x;\ y)$ — точка биссектрисы I и III координатных углов, $A_1$ — её проекция на $Ox$ . Треугольник $OA_1A$ прямоугольный с острым углом $45^\circ$ , значит, равнобедренный: $OA_1 = A_1A$ , откуда $y = x$ (для $x < 0$ так же, с минусами).

И обратно: если $y = x$ , точка лежит на этой биссектрисе. График $y = x$ — биссектриса I и III координатных углов. Область определения и область значений — $(-\infty;\ +\infty)$ .

Так же график $y = -x$ — биссектриса II и IV углов.

Свойства функции y = x²

1) $y(0) = 0$ ; 2) если $x \ne 0$ , то $y > 0$ — квадрат ненулевого числа положителен.
3) Возрастает при $x \ge 0$ : если $0 \le x_1 < x_2$ , то $x_1^2 < x_2^2$ (свойство 6 неравенств).
4) $y \to +\infty$ при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$ : $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$
5) Чётная: $(-x)^2 = x^2$ , то есть $y(-x) = y(x)$ .
6) Непрерывна на $(-\infty;\ +\infty)$ ; убывает при $x \le 0$ .

Функция возрастает на промежутке, если из

x_1 < x_2

следует

f(x_1) < f(x_2)

; убывает — если

f(x_1) > f(x_2)

\ y = x^2

возрастает на

[0;\ +\infty)

и убывает на

(-\infty;\ 0]

График y = x² — парабола

$x$	$0$	$0{,}5$	$1$	$1{,}5$	$2$	$2{,}5$	$3$
$y$	$0$	$0{,}25$	$1$	$2{,}25$	$4$	$6{,}25$	$9$

Отмечаем точки таблицы и соединяем плавной линией: функция непрерывна и возрастает при $x \ge 0$ . Левую половину получаем симметрией относительно оси $y$ — функция чётная.

Линию называют параболой, ось $y$ — её осью симметрии, точку $O(0;\ 0)$ — вершиной.

Функция y = 1/x

Определена при всех $x \ne 0$ .
1) При $x > 0$ : $y > 0$ . 2) При $x > 0$ убывает: если $0 < x_1 < x_2$ , то $\dfrac{1}{x_1} > \dfrac{1}{x_2}$ (свойство 5 неравенств).
3) $y \to +\infty$ при $x \to 0$ , $x > 0$ ; $\ y \to 0$ при $x \to +\infty$ : $x = 1, 2, 3, \ldots$ даёт $y = 1, \dfrac12, \dfrac13, \ldots$
4) Непрерывна на $(0;\ +\infty)$ : бегун пробегает $1$ км со скоростью $x$ км/с за $y = \dfrac1x$ с; малое изменение скорости — малое изменение времени.
5) Нечётная: $y(-x) = \dfrac{1}{-x} = -y(x)$ — график симметричен относительно начала координат.

График y = 1/x — гипербола

$x$	$\dfrac14$	$\dfrac13$	$\dfrac12$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$3$	$2$	$1$	$\dfrac12$	$\dfrac13$	$\dfrac14$

Правую ветвь строим по точкам, левую — симметрией относительно $O$ (функция нечётная). Линию называют гиперболой, её части — ветвями.

Гипербола не пересекает оси: $x \ne 0$ и $\dfrac1x \ne 0$ . При $x < 0$ функция тоже убывает и $y < 0$ .

Три графика рядом

	$y = x$	$y = x^2$	$y = \dfrac1x$
график	прямая	парабола	гипербола
область определения	все $x$	все $x$	$x \ne 0$
область значений	все $y$	$y \ge 0$	$y \ne 0$
чётность	нечётная	чётная	нечётная
монотонность	возрастает	убывает на $(-\infty;\ 0]$ , возрастает на $[0;\ +\infty)$	убывает на $(-\infty;\ 0)$ и на $(0;\ +\infty)$

Никольский, № 89, 92Пример 1

а) Сравните

1{,}17^2

1{,}18^2

. б) Для

y = x^2

найдите

y(-1{,}2)

y(0)

y(-2{,}5)

а) $0 < 1{,}17 < 1{,}18$ , а $y = x^2$ возрастает при $x \ge 0$ : $\ 1{,}17^2 < 1{,}18^2$ . Вычислять не нужно.
б) $y(-1{,}2) = (-1{,}2)^2 = 1{,}2^2 = 1{,}44$ ; $\ y(0) = 0$ ; $\ y(-2{,}5) = 6{,}25$ .

Ответ: а) $1{,}17^2 < 1{,}18^2$ ; б) $1{,}44;\ 0;\ 6{,}25$

ОГЭ, задание 11Пример 2

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. 1)

y = x^2

; 2)

y = \dfrac x2

; 3)

y = \dfrac2x

А) парабола с вершиной в начале координат — $y = x^2$ , формула 1.
Б) гипербола: две ветви, оси не пересекает — $y = \dfrac2x$ , формула 3. Проверка: точка $(1;\ 2)$ , $\ \dfrac21 = 2$ .
В) прямая через $O$ и $(2;\ 1)$ : $\ \dfrac22 = 1$ — это $y = \dfrac x2$ , формула 2.

Ответ: 132

ОГЭ, задание 11Пример 3

Установите соответствие между функциями и их графиками. А)

y = -x^2 - x + 5

; Б)

y = -\dfrac34 x - 1

; В)

y = -\dfrac{12}{x}

А) есть $x^2$ — график парабола, это рисунок 1.
Б) формула вида $y = kx + b$ — прямая, рисунок 2. Проверка: $(0;\ -1)$ лежит на прямой.
В) $x$ в знаменателе — гипербола, рисунок 3. Знак минус — ветви во II и IV четвертях.

Ответ: 123

Главное

$y = x$ — прямая, биссектриса I и III углов; $y = -x$ — II и IV.
$y = x^2$ — парабола с вершиной $O$ , чётная, $y \ge 0$ , возрастает при $x \ge 0$ .
$y = \dfrac1x$ — гипербола из двух ветвей, нечётная, $x \ne 0$ , $y \ne 0$ .
В ОГЭ №11 сначала узнаём вид графика по формуле, потом проверяем одной-двумя точками.

Функции y = x, y = x², y = 1/x

Все уроки станции «Функции и графики»