Отрицательные числа. Противоположные числа и модуль

Термометр показывает $7^\circ$ тепла. Понизится температура на $4^\circ$ — будет $3^\circ$ тепла: $7 - 4 = 3$. Понизится на $7^\circ$ — будет $0^\circ$: $7 - 7 = 0$.

А если понизится на $8^\circ$, термометр покажет $1^\circ$ мороза, $-1^\circ$. Результат $7 - 8$ имеет реальный смысл, но записать его натуральными числами и нулём нельзя.

В ряду $0, 1, 2, 3, \ldots$ от числа $7$ нельзя отсчитать влево $8$ чисел. Расширим ряд: влево от нуля запишем по порядку все натуральные числа со знаком «$-$», показывающим, что число стоит слева от нуля. Читают: «минус один», «минус два»…

Числа справа от нуля называют натуральными, или целыми положительными; слева — целыми отрицательными. Число $0$ не является ни положительным, ни отрицательным — оно их разделяет.

Ряд целых чисел образуют натуральные числа, целые отрицательные числа и нуль. Он бесконечен в обе стороны; а все целые числа между двумя данными — конечное множество.

1. $-(-2)$ читают «число, противоположное минус двум» или «минус минус два».
2. а) «$+$» не меняет числа: $+(-2) = -2$. б) Противоположное $3$: $-(+3) = -3$.
3. в) Противоположное $-3$: $-(-3) = 3$. г) $-(+8) = -8$. д) $-(-10) = 10$.

Модулем (абсолютной величиной) положительного числа называют само это число: $|+3| = 3$. Модулем отрицательного числа называют противоположное ему положительное число: $|-4| = 4$. Модуль нуля — нуль.

Модуль целого числа, отличного от нуля, — положительное число. На ряде модуль показывает, на сколько шагов число удалено от нуля.

Противоположные числа имеют одинаковый модуль. Чисел с модулем $5$ два: $5$ и $-5$; с модулем $0$ — одно, сам нуль.

1. Сначала заменяем каждый модуль числом, потом считаем как с натуральными.
2. а) $6 + 7 = 13$. б) $20 - 6 = 14$.
3. в) $7 + 5 + 8 + 10 = 30$. г) $12 + 2 - 10 + 9 = 13$.

1. $|a| = a$, если $a$ положительно или равно нулю: $|5| = 5$. Для отрицательного — нет: $|-5| = 5 \ne -5$.
2. $|a| = -a$, если $a$ отрицательно или равно нулю: $|-5| = 5 = -(-5)$. Оба равенства сразу верны только при $a = 0$.
3. Маша не права: при $a = -7$ число $-a = 7$ положительно, при $a = 0$ число $-a = 0$. Знак «минус» перед буквой означает «противоположное», а не «отрицательное».

• Целые числа: натуральные, нуль, целые отрицательные. Нуль — ни положительный, ни отрицательный.
• Противоположные числа отличаются только знаком: $a$ и $-a$; $\ -(-a) = a$, $\ -0 = 0$.
• $|a| = a$ при $a \ge 0$; $\ |a| = -a$ при $a < 0$; модуль — расстояние до нуля в шагах ряда.
• $-a$ не обязательно отрицательно: всё зависит от $a$.