Умножение и деление целых чисел

$(+6) \cdot (+8) = 48$; $\ (-5) \cdot (-10) = +(5 \cdot 10) = 50$; $\ 7 \cdot (-3) = -21$; $\ (-3) \cdot 3 = -9$.

Произведение любого целого числа и нуля равно нулю: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.

• $3 \cdot (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6$: умножение на натуральное число — это сумма одинаковых слагаемых.
• Посмотрим на ряд: $(-2) \cdot 3 = -6$, $\ (-2) \cdot 2 = -4$, $\ (-2) \cdot 1 = -2$, $\ (-2) \cdot 0 = 0$. Множитель уменьшается на $1$ — произведение растёт на $2$.
• Продолжим закономерность: $(-2) \cdot (-1) = 2$, $\ (-2) \cdot (-2) = 4$. Только такое правило сохраняет законы умножения — поэтому его и приняли.

Для целых чисел верны переместительный и сочетательный законы: $ab = ba$, $\ (ab)c = a(bc)$. Умножение на $-1$ меняет только знак числа.

Степень определяется так же, как для натуральных: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$, $\ (-3)^3 = -27$, $\ (-7)^1 = -7$.

Знак произведения нескольких множителей: если отрицательных множителей чётное число — плюс, нечётное — минус. Поэтому чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна.

1. а) Три отрицательных множителя — знак «$-$»: $-(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4) = -24$.
2. б) Снова три: $-(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6) = -144$.
3. в) Два — знак «$+$»; удобно сгруппировать $8 \cdot 25 = 200$: $\ 200 \cdot 3 = 600$.

1. Важно, что возводится в степень: в $-2^2$ — только $2$, а минус стоит перед степенью: $-2^2 = -(2 \cdot 2) = -4$. В $(-2)^2$ — всё число: $(-2)^2 = 4$.
2. а) $-4 < 4$, больше $(-2)^2$.
3. б) $-3^2 = -9$, $\ -2^3 = -8$; $\ -9 < -8$, больше $-2^3$.

$(-20) : (-5) = 4$; $\ 8 : (-2) = -4$; $\ (-12) : 3 = -4$. Правило знаков то же, что при умножении: ведь частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.

$0 : a = 0$ при $a \ne 0$: $\ 0 : (-5) = 0$. Делить на нуль нельзя.

Деление нацело возможно не всегда: $7 : (-2)$ целым числом не выражается — для этого появятся рациональные числа (глава 3).

1. а) Неизвестный множитель $=$ произведение $:$ известный множитель: $x = 36 : (-12) = -3$.
2. б) $x = (-143) : (-13) = 11$.
3. в) Делимое $=$ частное $\cdot$ делитель: $x = (-9) \cdot (-7) = 63$.
4. г) Делитель $=$ делимое $:$ частное: $x = (-68) : (-4) = 17$.

1. а) Нет: $(-1) \cdot (-2) \cdot 3 = 6 > 0$ — отрицательных множителей два, чётное число.
2. б) Произведение положительно, когда знаки одинаковые: оба положительные или оба отрицательные.
3. Если $ab < 0$, знаки разные; если $ab = 0$, хотя бы один множитель равен нулю.

• Одинаковые знаки — плюс, разные — минус (и при умножении, и при делении).
• Чётное число отрицательных множителей — плюс, нечётное — минус.
• $(-a)^2 = a^2$, но $-a^2 = -(a^2)$: скобки решают.
• $a \cdot 0 = 0$, $0 : a = 0$; на нуль делить нельзя.