Раскрытие скобок и заключение в скобки

Для любых целых чисел $a, b, c$ выполняется распределительный закон. Доказательство сводится к натуральным числам, например: $((-3) + (-2)) \cdot (-7) = (3 + 2) \cdot 7 = 3 \cdot 7 + 2 \cdot 7 = (-3) \cdot (-7) + (-2) \cdot (-7)$.

Закон верен и для нескольких слагаемых: $(3 + 5 + (-7)) \cdot (-2) = 3 \cdot (-2) + 5 \cdot (-2) + (-7) \cdot (-2)$.

Переход от суммы $a \cdot c + b \cdot c$ к произведению $(a + b) \cdot c$ называют вынесением общего множителя за скобки.

1. а) $3 \cdot 35 + 3 \cdot (-65) = 3 \cdot (35 + (-65)) = 3 \cdot (35 - 65) = 3 \cdot (-30) = -90$.
2. б) В обоих слагаемых есть множитель $-49$: $\ (-49) \cdot ((-96) + 86) = (-49) \cdot (-10) = 490$.
3. Вынесение за скобки избавило от умножения $49 \cdot 96$ и $86 \cdot 49$.

1. а) $4300 = 43 \cdot 100$: $\ 43 \cdot (100 - 99) = 43$.
2. б) $156 = 156 \cdot 1$: $\ 156 \cdot (999 + 1) = 156\,000$.
3. в) $32 \cdot (128 + 872) - 31\,000 = 32\,000 - 31\,000 = 1000$.

Выражение $-3 + 6 - 1$ называют суммой: это $(-3) + (+6) + (-1)$.

По распределительному закону $+(-3 + 6 - 1) = (+1) \cdot (-3) + (+1) \cdot 6 + (+1) \cdot (-1) = -3 + 6 - 1$.

Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «$+$», то при раскрытии скобок знаки слагаемых оставляют без изменения. И обратно: заключая в скобки со знаком «$+$», знаки не меняют: $-3 + 8 - 7 = +(-3 + 8 - 7)$.

$-(2 - 5) = (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot (-5) = -2 + 5$; $\ -(6 - 4) = -6 + 4$.

Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «$-$», то при раскрытии скобок знаки слагаемых меняют на противоположные.

Заключая сумму в скобки со знаком «$-$», знаки слагаемых тоже меняют: $9 - 17 + 18 - 4 = -(-9 + 17 - 18 + 4)$.

Когда «$+$» и «$-$» перед скобками означают сложение и вычитание, правила те же: $a - (b - c) = a + (-(b - c)) = a + (-b + c) = a - b + c$.

$9 + (8 - 3) = 9 + 8 - 3$; $\ 9 - (7 - 3) = 9 - 7 + 3$.

Сумму удобно считать, сложив отдельно положительные и отрицательные: $78 - 89 + 32 - 11 = (78 + 32) + (-89 - 11) = 110 - 100 = 10$. Или иначе: $(78 - 89) + (32 - 11) = -11 + 21 = 10$.

1. а) Минус перед скобками меняет знаки: $72 - 39 + 39 = 72$.
2. б) Плюс знаков не меняет: $398 - 700 + 700 = 398$.
3. в) $-754 + 1200 - 1200 = -754$.

1. а) $123 - 254 - 23 + 354 = (123 - 23) + (354 - 254) = 100 + 100 = 200$.
2. б) $49 + 35 - 49 + 35 = 70$ — «сорок девять» сокращаются.
3. в) $-95 - 105 - 398 + 98 = -200 - 300 = -500$.

1. а) Знаки не меняются: $a - b - c$.
2. б) Все знаки меняются: $-a + b + c$.
3. в) $a - b - c$. Заметим: выражения в а) и в) равны — это одна и та же сумма.

• $(a + b)c = ac + bc$; обратный переход — вынесение общего множителя.
• «$+$» перед скобками: знаки слагаемых не меняются.
• «$-$» перед скобками: знаки всех слагаемых меняются на противоположные.
• Те же правила — при заключении в скобки; это ускоряет вычисления.