Сложение и вычитание целых чисел

Сумма целых чисел $a$ и $b$ ($b \ne 0$) есть целое число $c$, отстоящее в ряду от $a$ на $|b|$ чисел вправо, если $b > 0$, и влево, если $b < 0$. Пишут $c = a + b$.

Пример 1 (с. 52). $(+3) + (+6)$: от $+3$ отсчитаем вправо $6$ чисел, получим $+9$. Пример 2. $(-3) + (-8)$: от $-3$ отсчитаем влево $8$ чисел, получим $-11$.

$(+7) + (+9) = +(7 + 9) = 16$; $\quad (-2) + (-3) = -(2 + 3) = -5$.

Сумма положительных чисел положительна, сумма отрицательных — отрицательна. Как с долгами: долг $2$ р. и долг $3$ р. — вместе долг $5$ р.

Пример 3. $(-3) + (+8) = +5$: больше модуль у $+8$. Пример 4. $(+3) + (-8) = -(8 - 3) = -5$.

$(+17) + (-20) = -(20 - 17) = -3$; $\ (-2) + (+1) = -1$. Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$. И $a + 0 = a$.

1. Складываем по очереди слева направо.
2. а) $-8 + 3 = -5$; $\ -5 + (-1) = -6$.
3. б) $-4 + 8 = 4$; $\ 4 + (-9) = -5$; $\ -5 + 3 = -2$.
4. в) $8 + (-10) = -2$; $\ -2 + (-12) = -14$; $\ -14 + 3 = -11$.

Для целых чисел верны переместительный и сочетательный законы. Доказательство сводится к натуральным числам: $-3 + (-5)$ и $-5 + (-3)$ обе отрицательны, а модули $3 + 5 = 5 + 3$.

Поэтому сумму нескольких целых чисел пишут без скобок, слагаемые меняют местами и группируют. Удобно: противоположные — в пару (дают $0$), отдельно положительные и отрицательные.

$3 + (-6) + (-4) + 6 + (-5) + 4 = (3 + (-5)) + ((-6) + 6) + (4 + (-4)) = -2 + 0 + 0 = -2$.

1. а) Пары противоположных: $(-1) + 1 = 0$, $(-2) + 2 = 0$, … Сумма $0$.
2. б) Все числа от $-100$ до $100$: каждое отрицательное — в пару с противоположным, остаётся $0$.
3. Итог: $0$. Ничего не складывая по очереди.

Разностью двух целых чисел называют целое число, которое в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Докажем, что $a + (-b)$ и есть разность: $(a + (-b)) + b = a + ((-b) + b) = a + 0 = a$ ✓. Значит, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

$-3 - (-5) = -3 + 5 = 2$; $\ 2 - 7 = 2 + (-7) = -5$; $\ -7 - 2 = -7 + (-2) = -9$; $\ 0 - 5 = -5$. В целых числах из меньшего можно вычесть большее.

1. а) $35 + (-47) = -(47 - 35) = -12$. б) $-28 + (-17) = -45$.
2. в) $-794 + 581 = -(794 - 581) = -213$.
3. г) Пары $(1 - 2) + (3 - 4) + \ldots + (9 - 10)$ — пять пар по $-1$, это $-5$; плюс $11$: $\ 6$.

1. За $4$ минуты температура уменьшится на $6 \cdot 4 = 24^\circ$.
2. $-7 - 24 = -7 + (-24) = -31$.

1. а) Неизвестное слагаемое $=$ сумма $-$ известное слагаемое: $x = 7 - 13 = -6$. Проверка: $-6 + 13 = 7$ ✓.
2. б) Неизвестное вычитаемое $=$ уменьшаемое $-$ разность: $x = -15 - 7 = -22$. Проверка: $-15 - (-22) = -15 + 22 = 7$ ✓.

• Одинаковые знаки: модули складываем, знак тот же.
• Разные знаки: из большего модуля вычитаем меньший, знак — числа с большим модулем.
• $a + (-a) = 0$; законы сложения позволяют переставлять и группировать.
• $a - b = a + (-b)$: вычитание — это сложение с противоположным.