Линейная функция и её график

Функцию $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — данные числа, называют линейной функцией. Она определена при всех $x$. При $b = 0$ получаем прямую пропорциональность $y = kx$.

Примеры: $y = 2x + 4$, $\ y = -x + 5$, $\ y = -0{,}5x$. А $y = x^2 - 1$ — не линейная.

• $k$ — угловой коэффициент: на сколько меняется $y$, когда $x$ увеличивается на $1$.
• $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.
• Прямые $y = kx + b$ и $y = k_1x + b_1$ с $k = k_1$ и $b \ne b_1$ параллельны.
• $k = 0$: $y = b$ — постоянная функция, график параллелен оси $x$.

• Прямая идёт вверх слева направо — $k > 0$; вниз — $k < 0$.
• Пересекает ось $y$ выше нуля — $b > 0$; ниже — $b < 0$.
• Точное значение: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ по двум точкам с целыми координатами; $b$ — где прямая пересекает ось $y$.

$y = 2x + 4 = 2(x + 2)$. График $y = 2(x + 2)$ получается из $y = 2x$ сдвигом на $2$ единицы влево: значение, которое $y = 2x$ принимает при $x$, функция $y = 2(x + 2)$ принимает при $x - 2$.

Так же $y = 2(x - 3)$ — сдвиг прямой $y = 2x$ на $3$ единицы вправо. Для прямой сдвиг вверх на $4$ и сдвиг влево на $2$ дают одну и ту же прямую.

1. а) С осью $y$: $x = 0$, $y = -1$ — точка $(0;\ -1)$. С осью $x$: $y = 0$, $\ -3x - 1 = 0$, $\ x = -\dfrac13$ — точка $\left(-\dfrac13;\ 0\right)$.
2. б) Точка $(0;\ 8)$ даёт $b = 8$. Точка $(1;\ 12)$: $\ k + 8 = 12$, $\ k = 4$. Прямая $y = 4x + 8$.

1. $k < 0$ — прямая идёт вниз: рисунки 1 и 2. Из них $b < 0$ (ось $y$ ниже нуля) — рисунок 2, $b > 0$ — рисунок 1.
2. $k > 0$ — рисунки 3 и 4; $b < 0$ — рисунок 3.

1. Знак $k$: прямая А возрастает — только рисунок 3.
2. Б и В убывают; различаем по $b$: у Б точка $(0;\ -3)$ — рисунок 1, у В точка $(0;\ 3)$ — рисунок 2.

• $y = kx + b$ — прямая через $(0;\ b)$, параллельная $y = kx$.
• $k > 0$ — прямая возрастает, $k < 0$ — убывает; $b$ — точка на оси $y$.
• $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; равные $k$ — параллельные прямые; $k = 0$ — постоянная функция.
• ЕГЭ №12: по двум точкам графика находим $k$ и $b$, затем значение $f$ в нужной точке.