Функции · 8 класс · урок 3 из 3 · Никольский, «Алгебра 8», § 6, п. 6.5

Функция y = |x|

Выход к заданиям: ОГЭ №11, ОГЭ №22, ЕГЭ №12, ЕГЭ №19

Сначала нужно знать: Линейная функция, модуль числа
Зачем этот урок: ОГЭ №22 и ЕГЭ №12: графики с модулем и кусочные графики из отрезков прямых
Дальше: Квадратичная функция

Линейная функция · урок 3

Функция y = |x|

График «уголок», сдвиги, кусочно-линейные функции

Формула и график

При $x \ge 0$ график совпадает с прямой $y = x$ , при $x \le 0$ — с прямой $y = -x$ . Вместе получается «уголок» с вершиной в начале координат.

y = |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0,\\ -x, & x \le 0. \end{cases}

Свойства y = |x|

1) Определена при всех $x$ : область определения $(-\infty;\ +\infty)$ .
2) Принимает только неотрицательные значения: область значений $[0;\ +\infty)$ .
3) Убывает на $(-\infty;\ 0]$ и возрастает на $[0;\ +\infty)$ .
4) Чётная: $|{-x}| = |x|$ — график симметричен относительно оси $y$ .
5) Непрерывна на всей прямой.

Сдвиги графика вверх и вниз

Если $A$ — точка графика $y = |x|$ , а $B$ — точка графика $y = |x| - 2$ с той же абсциссой, то $B$ на $2$ единицы ниже $A$ . Значит, график $y = |x| - 2$ — график $y = |x|$ , сдвинутый на $2$ вниз.

Так же $y = |x| + 3$ — сдвиг на $3$ вверх.

Сдвиги влево и вправо

Если $A$ — точка графика $y = |x|$ , а $B$ — точка графика $y = |x - 2|$ с той же ординатой, то абсцисса $B$ на $2$ больше. График $y = |x - 2|$ — сдвиг $y = |x|$ на $2$ вправо; вершина в точке $(2;\ 0)$ .

$y = |x + 3|$ — сдвиг на $3$ влево. Знак внутри модуля противоположен направлению сдвига.

y = |x − x₀| + y₀

Пример: $y = |x + 1| - 3$ — сдвиг на $1$ влево и на $3$ вниз, вершина $(-1;\ -3)$ .

Чтобы построить

y = |x - x_0| + y_0

, сдвигаем график

y = |x|

на

|x_0|

вправо (если

x_0 > 0

) или влево (если

x_0 < 0

), затем на

|y_0|

вверх или вниз. Вершина уголка — точка $(x_0;\ y_0)$ .

Модуль под знаком линейной функции

В ЕГЭ №12 встречается $f(x) = ax - |bx + c| + d$ . Раскрывая модуль, на каждом из двух промежутков получаем линейную функцию — график состоит из двух лучей.

Угловые коэффициенты лучей $a + |b|$ и $a - |b|$ : больший у одного луча, меньший у другого. Свободные члены — $d + |c|$ и $d - |c|$ .

ЕГЭ, задание 12Пример 1

На рисунке изображён график функции вида

f(x) = ax - |bx + c| + d

, где числа

a

b

c

d

— целые. Найдите корень уравнения

ax + d = 0

Левый луч проходит через $(0;\ -1)$ и $(1;\ 3)$ : $\ y = 4x - 1$ . Правый — через $(1;\ 3)$ и $(2;\ 1)$ : $\ y = -2x + 5$ .
Угловые коэффициенты: $a + |b| = 4$ , $a - |b| = -2$ , откуда $a = 1$ . Свободные члены: $d + |c| = 5$ , $d - |c| = -1$ , откуда $d = 2$ .
$x + 2 = 0$ , $\ x = -2$ .

Ответ: $-2$

ОГЭ, задание 22Пример 2

Постройте график функции

y = \begin{cases} x - 2{,}5, & x < 2,\\ -x + 1{,}5, & 2 \le x \le 3,\\ x - 4{,}5, & x > 3. \end{cases}

Определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно две общие точки.

Каждый кусок — часть прямой. На стыках: при $x = 2$ первый кусок даёт $2 - 2{,}5 = -0{,}5$ , второй $-2 + 1{,}5 = -0{,}5$ ; при $x = 3$ второй даёт $-1{,}5$ , третий $3 - 4{,}5 = -1{,}5$ — график непрерывен.
График: возрастает до $(2;\ -0{,}5)$ , убывает до $(3;\ -1{,}5)$ , затем снова возрастает.
Горизонтальная прямая $y = m$ при $-1{,}5 < m < -0{,}5$ пересекает график в трёх точках, при $m > -0{,}5$ и $m < -1{,}5$ — в одной.
Ровно две точки — когда прямая проходит через «вершину»: $m = -0{,}5$ или $m = -1{,}5$ .

Ответ: $-1{,}5;\ -0{,}5$

Главное

$y = |x|$ — «уголок»: $x$ при $x \ge 0$ , $-x$ при $x \le 0$ ; чётная, $y \ge 0$ .
$y = |x - x_0| + y_0$ — уголок с вершиной $(x_0;\ y_0)$ : сначала сдвиг по $x$ , потом по $y$ .
Модуль раскрываем на промежутках — получаем лучи и отрезки прямых.
Задачи «прямая $y = m$ имеет $n$ общих точек»: двигаем горизонталь и считаем пересечения; особые положения — через вершины графика.

Функция y = |x|

Все уроки станции «Линейная функция»