Числовые и буквенные выражения. Одночлен

Прежде чем считать, удобно записать план вычислений: из чисел, знаков действий и скобок составить числовое выражение. Скобки задают порядок действий.

Если выполнить все действия, получится действительное число — значение числового выражения. Выражение может состоять и из одного числа.

Сложение, вычитание и умножение возможны всегда, а делить можно только на число, не равное нулю. Если по ходу вычислений требуется делить на нуль, выражение не имеет смысла: например, $\dfrac{3{,}1}{2 - 2}$.

1. а) Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время (а не среднее двух скоростей): $\dfrac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 5}{3 + 2} = \dfrac{22}{5} = 4{,}4$ (км/ч).
2. б) Олова в кусках: $0{,}2 \cdot 300 = 60$ г и $0{,}4 \cdot 700 = 280$ г; масса сплава $1000$ г.
3. Одним выражением: $\dfrac{0{,}2 \cdot 300 + 0{,}4 \cdot 700}{300 + 700} \cdot 100 = \dfrac{340}{1000} \cdot 100 = 34$ (%).

Если в числовом выражении некоторые числа заменить буквами (разные числа — разными буквами), получится буквенное выражение. Обычно берут буквы латинского алфавита.

Буквенное выражение может состоять из одной буквы: $a$, $x$. Буквенные выражения и числа называют алгебраическими выражениями.

Соединив два выражения знаком действия, получают их сумму, разность, произведение или частное: для $a + 1$ и $a - b$ это $(a + 1) + (a - b)$, $\ (a + 1) - (a - b)$, $\ (a + 1)(a - b)$, $\ \dfrac{a + 1}{a - b}$. Знак умножения часто опускают.

Буквенное выражение решает сразу все задачи одного типа — это решение в общем виде. Так поступают в геометрии и физике.

Марки. У старшего брата в $3$ раза больше марок, чем у младшего, всего $a$ марок. На $1 + 3 = 4$ части приходится $a$ марок, у младшего $\dfrac a4$, у старшего $\dfrac{3a}{4}$.

Турист шёл $a$ ч со скоростью $5$ км/ч и $b$ ч со скоростью $4$ км/ч. Средняя скорость $\dfrac{5a + 4b}{a + b}$ км/ч. При $a = 3$, $b = 2$ получаем $\dfrac{23}{5} = 4{,}6$.

Вкладчик положил $a$ р. Если банк каждый месяц выплачивает $p\%$ от первоначальной суммы, доход за месяц $a \cdot \dfrac{p}{100}$, за $7$ месяцев — $\dfrac{7ap}{100}$ р. (левая формула).

Если банк в конце года начисляет $p\%$ от суммы, которая лежала на счёте, после первого года будет $a + a \cdot \dfrac{p}{100} = a\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$.

Второй год проценты начисляются уже на эту сумму: она снова умножается на $1 + \dfrac{p}{100}$. Получаем правую формулу — сложные проценты.

1. Увеличить на $30\%$ — умножить на $1{,}3$; на $20\%$ — на $1{,}2$; уменьшить на $30\%$ — умножить на $0{,}7$.
2. а) $20\,000 \cdot 1{,}3 \cdot 1{,}2 = 20\,000 \cdot 1{,}56 = 31\,200$ (р.). Это рост на $56\%$, а не на $50\%$: второй раз проценты считаются от новой суммы.
3. б) Если цена была $a$, стала $a \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}91a$. Цена уменьшилась на $9\%$, хотя «выросла и упала на одно и то же число процентов».

1. Формула — буквенное выражение: вместо буквы $n$ подставляем её значение $5$.
2. $C = 600 + 4100 \cdot 5 = 600 + 20\,500 = 21\,100$ (р.).

Одночленом называют алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел. Эти буквы и числа — множители одночлена. Пример: $3abc$ — множители $3$, $a$, $b$, $c$.

Число или одна буква — тоже одночлены: $a$, $x$, $1$, $-\dfrac12$, $0$. Число $0$ называют нулевым одночленом.

Не одночлены: $7a - 8$ (разность), $\ a + b$ (сумма), $\ \dfrac{a}{b}$ (частное с буквой в знаменателе).

• 1. Одночлены, которые отличаются только порядком множителей, равны: $a3bc = 3cba$.
• 2. Числовые множители можно заменить их произведением: $a \cdot 7 \cdot (-3) \cdot b = a \cdot (-21) \cdot b$.
• 3. Если среди множителей есть $0$, одночлен равен нулю: $a \cdot (-1) \cdot b \cdot 0 \cdot c = 0$.
• 4. Множитель $1$ можно опускать: $a \cdot 1 \cdot b \cdot c = abc$.

1. а) $7a - 8$ — разность, не одночлен. $a$, $-xy = (-1)xy$, $0$, $-1{,}(26)$ — одночлены (число тоже одночлен).
2. $(a - b) \cdot 3$ — произведение, но один множитель — разность, а не буква или число. Не одночлен.
3. б) $0ab = 0$ (свойство 3); $\ 1kpx = kpx$ (свойство 4); $\ a \cdot 5 \cdot 5 \cdot (-3) \cdot c \cdot (-8) = 600ac$ (свойства 1, 2: $5 \cdot 5 \cdot (-3) \cdot (-8) = 600$).

• Числовое выражение — план вычислений; на нуль делить нельзя, иначе выражение не имеет смысла.
• Буквенное выражение решает задачу в общем виде; подставляя числа, получаем ответ конкретной задачи.
• $p\%$ от первоначальной суммы — простые проценты; от текущей — сложные: $a\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^n$.
• Одночлен — произведение чисел и букв; число и буква — тоже одночлены, $0$ — нулевой.