Действия с одночленами

Произведение одночленов равно одночлену, множителями которого являются все множители данных одночленов.

Произведение $k$ одинаковых одночленов $a$ кратко обозначают $a^k$ — $k$-я степень $a$: $\ aa = a^2$, $\ aaa = a^3$. Как и для чисел, $a^1 = a$; $k$ — показатель, $a$ — основание.

• При умножении степеней одной буквы показатели складывают: $a^2a^3 = aa \cdot aaa = a^5$.
• При возведении в степень произведения в эту степень возводят каждый множитель: $(ab)^2 = ab \cdot ab = a^2b^2$.
• При возведении степени в степень показатели перемножают: $(a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^6$.
• Сверх учебника: частное степеней при $m > n$: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ ($a \ne 0$) — $n$ множителей $a$ сокращаются. Полное правило — в теме «Степень с целым показателем».

• 5. Произведение одинаковых букв заменяют степенью: $5a^2bab^3 = 5a^3b^4$, $\ (-3)aaab = (-3)a^3b$.
• 6. Знак «$+$» перед одночленом его не меняет: $+(-7)ab = (-7)ab$.
• 7. Знак «$-$» перед одночленом равносилен умножению на $-1$: $-abc = (-1)abc$, $\ -(-7ab) = 7ab$, $\ -(-a) = a$.
• Одночлен и он же со знаком минус — противоположные одночлены: $3a^2bc$ и $-3a^2bc$.

Ненулевой одночлен имеет стандартный вид, если у него один числовой множитель, записанный первым, а каждая буква входит один раз — в виде степени; буквы — по алфавиту: $-12ab^2c$, $\ \dfrac25 x^3y$.

Числовой множитель стандартного одночлена — его коэффициент. У $ab$, $xyz^2$ коэффициент $1$, у $-ab$ — коэффициент $-1$. Число — одночлен стандартного вида; стандартный вид нулевого одночлена — $0$.

Степень одночлена — сумма показателей всех его букв: $8a^3$ — третьей степени, $2a^2b^2$ — четвёртой. Число, не равное нулю, — одночлен нулевой степени; у нуля степень не определена.

1. Числовые множители: $(-1) \cdot 3 \cdot 4 = -12$ — это коэффициент, пишем первым.
2. Степени букв: $a^2 \cdot a = a^3$, $\ b^2 \cdot b^3 = b^5$, $\ c \cdot c^2 = c^3$. Буквы — по алфавиту.
3. $b^2a^2(-1)c3ab^34c^2 = -12a^3b^5c^3$. Степень $3 + 5 + 3 = 11$.

1. Перемножаем коэффициенты, а степени одинаковых букв — по правилу $a^m a^n = a^{m+n}$.
2. а) $3 \cdot 6 = 18$; $\ a^2a = a^3$, $\ bb = b^2$, $\ cc = c^2$: $\ 18a^3b^2c^2$.
3. б) $25 \cdot (-6) = -150$; $\ x^2x^2 = x^4$, $\ yy^2 = y^3$: $\ -150x^4y^3$.
4. в) $\dfrac65 \cdot \dfrac{10}{9} = \dfrac43$; $\ a^2a = a^3$, $\ b^3b^2 = b^5$: $\ \dfrac43a^3b^5$.

1. а) Каждый множитель — в степень: $(7ab^2)^3 = 343a^3b^6$; $\ (2a^2k^3)^5 = 32a^{10}k^{15}$.
2. $\left(-\dfrac16px^3\right)^3 = -\dfrac{1}{216}p^3x^9$: нечётная степень отрицательного числа отрицательна.
3. б) $2\dfrac14 = \dfrac94 = \left(\dfrac32\right)^2$, $\ a^{10} = (a^5)^2$, $\ x^6 = (x^3)^2$: $\ 2\dfrac14a^{10}x^6 = \left(\dfrac32a^5x^3\right)^2$.
4. $15\dfrac58 = \dfrac{125}{8} = \left(\dfrac52\right)^3$, $\ a^{18} = (a^6)^3$, $\ p^9 = (p^3)^3$: $\ \left(\dfrac52a^6p^3\right)^3$.

Ненулевые одночлены стандартного вида называют подобными, если они равны или различаются только коэффициентами: $3ab$ и $5ab$ подобны, $a^2b$ и $ab^2$ — нет.

Чтобы узнать, подобны ли одночлены, их сначала приводят к стандартному виду: $abab^2 = a^2b^3$ и $baab^2 = a^2b^3$ — подобны.

Сумма (разность) подобных одночленов — подобный им одночлен с коэффициентом, равным сумме (разности) коэффициентов: $2abc^2 - 7abc^2 = -5abc^2$; $\ 8ac - 8ac = 0$. Такая замена называется приведением подобных членов.

1. Буквенная часть у всех членов одна и та же — складываем коэффициенты. У $ab$ коэффициент $1$.
2. а) $(4 + 1 + 12)ab = 17ab$.
3. б) $(3{,}1 - 1{,}6 + 1{,}5)a^2c = 3a^2c$. в) $(5{,}18 + 3{,}22 - 2{,}4)a^2p^3 = 6a^2p^3$.

1. Сначала упрощаем, потом подставляем: так меньше вычислений.
2. $a^8 \cdot a^{17} = a^{25}$; $\ a^{25} : a^{20} = a^5$.
3. При $a = 2$: $\ 2^5 = 32$.

1. $(a^8)^2 = a^{16}$ — показатели перемножаем.
2. $\dfrac{a^{16}}{a^{13}} = a^3$; при $a = 5$: $\ 125$.

1. Возводим одночлены в степень: $(2a^2)^3 = 8a^6$, $\ (3b)^2 = 9b^2$, $\ (6a^3b)^2 = 36a^6b^2$.
2. $\dfrac{8a^6 \cdot 9b^2}{36a^6b^2} = \dfrac{72a^6b^2}{36a^6b^2} = 2$ — буквенные части сократились полностью (при $a \ne 0$, $b \ne 0$).

• Произведение одночленов — все множители вместе; $a^m a^n = a^{m+n}$, $\ (ab)^n = a^nb^n$, $\ (a^m)^n = a^{mn}$.
• Стандартный вид: коэффициент первым, каждая буква — один раз, по алфавиту. Степень — сумма показателей.
• Подобные одночлены отличаются только коэффициентом; складываем и вычитаем коэффициенты.
• В №8 сначала упрощаем выражение со степенями, потом подставляем число.