Целые выражения. Тождества

Целым выражением называют алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения (деления на выражение с буквой нет). Многочлен — тоже целое выражение.

По правилам действий с многочленами любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.

В формуле: $(3a^2b + a)(5ab - 2) = 15a^3b^2 - 6a^2b + 5a^2b - 2a$, и после вычитания остаётся $(15 - 15)a^3b^2 + (6 - 5)a^2b + 2a = a^2b + 2a$.

1. Чтобы не ошибиться в знаках, каждое произведение сначала перемножаем в скобках, а потом раскрываем скобки со знаком минус.
2. а) $(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 7x + 12) = x^2 + 3x + 2 - x^2 - 7x - 12 = -4x - 10$.
3. б) $(a^2 + a - 2) - (a^2 - a - 2) = a^2 + a - 2 - a^2 + a + 2 = 2a$.

Если вместо буквы (где бы она ни стояла) подставить число, получится числовое выражение. Его значение — значение целого выражения при данном значении буквы.

У $a^2 + 5a - 13$ при $a = 0$ значение $-13$, при $a = -0{,}1$ — $-13{,}49$. У $0{,}2a + 3b - ab + \dfrac74$ при $a = -0{,}1$, $b = 2{,}5$ значение $9{,}48$.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях букв — в нём нет деления на выражение, которое может обратиться в нуль.

1. а) $\dfrac16 \cdot 3 - \dfrac{1}{15} \cdot (-5) + 0{,}3 \cdot (3 - 5) = \dfrac12 + \dfrac13 - 0{,}6$.
2. $\dfrac12 + \dfrac13 = \dfrac56$; $\ \dfrac56 - \dfrac35 = \dfrac{25 - 18}{30} = \dfrac{7}{30}$.
3. б) $bc = 6$, $\ (bc)^2 = 36$; $\ 3 \cdot (-1) \cdot 36 = -108$.

1. Это значение многочлена $30x^3 + 7x^2 - 3{,}9$ при $x = -0{,}1$. Сначала степени: $(-0{,}1)^3 = -0{,}001$, $\ (-0{,}1)^2 = 0{,}01$.
2. $30 \cdot (-0{,}001) = -0{,}03$; $\ 7 \cdot 0{,}01 = 0{,}07$.
3. $-0{,}03 + 0{,}07 - 3{,}9 = -3{,}86$.

1. $\left(\dfrac19\right)^2 = \dfrac{1}{81}$; $\ 18 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{18}{81} = \dfrac29$.
2. $\dfrac29 - \dfrac{20}{9} = -\dfrac{18}{9} = -2$.

Задача 1. Докажем, что $x^2 + 1 \ge 1$ при любом $x$. Квадрат любого числа неотрицателен: $x^2 \ge 0$. Прибавив $1$, получим число, не меньшее $1$.

Задача 2. Докажем, что $x^2 + y^2 \ge 0$ при любых $x$, $y$. Оба квадрата неотрицательны, а сумма неотрицательных чисел неотрицательна.

Так же: $x^2 - 5 \ge -5$ и $x^2 + y^2 - 3 \ge -3$ при любых $x$, $y$. Из этого приёма потом получаются оценки «наименьшее значение выражения».

Равенство $2aaabb = 2ababa$ становится верным числовым равенством при любых числах вместо букв: в обеих частях одно и то же произведение, только множители переставлены.

Равенство между буквенными выражениями называют тождеством, если оно превращается в верное числовое равенство при подстановке вместо букв любых чисел. Все равенства, полученные по правилам действий с многочленами, — тождества.

Чтобы доказать тождество, преобразуют одну часть в другую или обе части — в один и тот же многочлен.

1. а) Левая часть: $a^4 - a^2b + a^2b - b^2 = a^4 - b^2$ — равна правой.
2. б) Правая часть: $a^4 + a^3 + a^2 + a - a^3 - a^2 - a - 1 = a^4 - 1$ — равна левой.
3. в) Обе части: слева $a^3 + a^2 + a - a^2 - a - 1 = a^3 - 1$; справа $a^3 - a^2 + a + a^2 - a + 1 - 2 = a^3 - 1$. Части равны одному и тому же многочлену.

1. а) $ab - ac + bc - ab + ac - bc = 0$: каждый член встречается дважды с разными знаками.
2. б) Перемножим скобки: $a^4 + 4a^3 + 4a^2 - 4a^3 - 16a^2 - 16a + 4a^2 + 16a + 16 = a^4 - 8a^2 + 16$.
3. Вычтем $a^2(a^2 - 8) = a^4 - 8a^2$: остаётся $16$. Левая часть равна правой при любом $a$.

Нулевые многочлены равны нулю тождественно — при любых значениях букв: $a - a$, $\ 3x^2 - x^2 - 2x^2$.

Ненулевой многочлен может обращаться в нуль только при отдельных значениях букв: $a + b = 0$ лишь при $a = -b$, $\ x - y = 0$ лишь при $x = y$, а $a^2 + b^2 + 1$ не обращается в нуль никогда.

Поэтому, чтобы опровергнуть тождество, достаточно одного набора чисел, при котором части не равны: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$, так как при $a = b = 1$ слева $4$, справа $2$.

• Целое выражение — многочлены со знаками $+$, $-$, $\cdot$; любое целое выражение равно многочлену стандартного вида.
• Произведения вычитаем «в скобках», чтобы не потерять знаки.
• Тождество верно при всех значениях букв; доказываем, приводя части к одному многочлену.
• Чтобы опровергнуть тождество, хватает одного контрпримера.