Умножение многочленов

Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена на каждый член многочлена: $a(a - b) = a^2 - ab$.

При положительных буквах это видно на площадях: прямоугольник $a \times (b + c + d)$ состоит из трёх прямоугольников $ab$, $ac$, $ad$ (рис. 11 учебника).

Равенство $a(a - b) = a^2 - ab$, прочитанное справа налево, — вынесение за скобки общего множителя.

Чтобы вынести общий множитель: найти одночлен, на который делится каждый член (коэффициент — общий делитель, каждая буква — в наименьшей степени), и разделить на него каждый член.

Многочлен и он же, умноженный на $-1$, — противоположные: $ab - 2b^2$ и $-ab + 2b^2$. Их сумма равна нулю. Разность многочленов — сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

1. а) $a(3a - 4b) = 3a^2 - 4ab$, $\ 2(b - 4a) = 2b - 8a$; перед обоими произведениями минус.
2. $3a^2 - 3a^2 + 4ab - 2b + 8a = 4ab + 8a - 2b$.
3. б) $2a^2b + 4ab^2 - 3a^2b^2 + 12ab^2 = -3a^2b^2 + 2a^2b + 16ab^2$.

Произведение двух многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена на каждый член другого. Сколько членов: $2 \cdot 2 = 4$, $\ 2 \cdot 3 = 6$ — до приведения подобных.

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. Произведение не зависит от того, какой многочлен умножаем на какой.

Если множителей несколько, перемножают любые два, результат — на третий и т. д.

Множители нестандартного вида сначала приводят к стандартному виду — вычислений станет меньше: $(a^2 - ab + ab - b^2)(2a - b - a) = (a^2 - b^2)(a - b)$.

Произведение нулевого многочлена на любой многочлен — нулевой многочлен: $(a - a)(a^2 + ab + b^2) = 0$.

Равенства, прочитанные справа налево, — разложение многочлена на множители: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, $\ 6a^3 - 7a^2b - ab^2 + 2b^3 = (a - b)(2a + b)(3a - 2b)$.

Разложить многочлен на множители — представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Интересны разложения, где каждый множитель имеет степень больше нуля.

Простейший приём — вынести за скобки общий множитель, даже если он сам многочлен: $x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)$.

1. а) $4x^2 + 6xy - 6xy - 9y^2 = 4x^2 - 9y^2$.
2. б) $-2a^2 + 3ab - 2ab + 3b^2 = -2a^2 + ab + 3b^2$.
3. в) $35x^2 - 49xy + 20xy - 28y^2 = 35x^2 - 29xy - 28y^2$.
4. г) $x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1$: все средние члены сократились.

1. а) Общий множитель — двучлен $(x + 2y)$: $\ (x + 2y)(2x + 3y)$.
2. б) Скобки отличаются знаком: $n - m = -(m - n)$. Тогда $3(m - n) + a(m - n) = (m - n)(3 + a)$.
3. в) Общий множитель $(x + 2)$: $\ (x + 2)\big((x + 2) - (x - 1)\big) = (x + 2) \cdot 3 = 3(x + 2)$.

1. Умножаем $-3$ на каждый член скобки: $2 - 6x - 6 = 5 - 4x$.
2. $-6x - 4 = 5 - 4x$; $\ -6x + 4x = 5 + 4$; $\ -2x = 9$.
3. $x = -4{,}5$.

1. Подставлять сразу неудобно — сначала упростим. Общий множитель $(8b + 8)$: $\ (8b + 8)(8b - 8 - 8b) = (8b + 8) \cdot (-8)$.
2. $= -64b - 64$.
3. При $b = 2{,}6$: $\ -64 \cdot 2{,}6 - 64 = -166{,}4 - 64 = -230{,}4$.

1. Раскрываем: $(6b - 9)(9b + 6) = 54b^2 + 36b - 81b - 54 = 54b^2 - 45b - 54$; $\ 9b(6b + 9) = 54b^2 + 81b$.
2. Разность: $54b^2 - 45b - 54 - 54b^2 - 81b = -126b - 54$.
3. При $b = 5{,}3$: $\ -126 \cdot 5{,}3 - 54 = -667{,}8 - 54 = -721{,}8$.

• Одночлен на многочлен — на каждый член; многочлен на многочлен — каждый член на каждый.
• Вынесение общего множителя — обратное действие; общим множителем может быть и двучлен.
• $a - b = -(b - a)$: так «выравнивают» скобки, отличающиеся знаком.
• В заданиях «найдите значение при…» сначала упрощаем, потом подставляем.