Многочлены. Стандартный вид, сумма и разность

Многочленом называют сумму одночленов; одночлены — члены многочлена. $a^2 + 2ab + b^2$ — многочлен с членами $a^2$, $2ab$, $b^2$.

Сумму с отрицательными членами записывают через минус. Говоря «многочлен $\dfrac12a^3 - 2b - b^2$», имеют в виду сумму одночленов $\dfrac12a^3$, $-2b$ и $-b^2$.

Одночлен — тоже многочлен (из одного члена): $a^2$, $-2ab$, $3$. Число $0$ — нулевой многочлен.

• 1. Члены многочлена можно менять местами: $x^2 - x + 1 = 1 - x + x^2 = -x + x^2 + 1$.
• 2. Прибавление нуля многочлен не меняет: $2a - 3b + 0 - c = 2a - 3b - c$.
• 3. В многочлене можно приводить подобные члены: $a^2 + ab - ab + b^2 = a^2 + b^2$.
• Свойства следуют из законов сложения чисел: при любых значениях букв обе части дают одно и то же число.

Многочлен имеет стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных. Многочлены стандартного вида из двух членов — двучлены, из трёх — трёхчлены.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду: 1) каждый член привести к стандартному виду; 2) привести подобные члены. В формуле: $2aba = 2a^2b$, $\ ba^2 = a^2b$ — вместе $3a^2b$; $\ b^2a - 2abb = -ab^2$.

Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней его членов: $\dfrac12a^2 - 2b + 7$ — второй степени, $-x^3y^2 - x + y^2$ — пятой. Если всё сократилось в $0$, многочлен нулевой: $3x^2 - x^2 - 2x^2 = 0$.

Сумма многочленов — многочлен, членами которого являются все члены данных многочленов: $(a^2 + ab) + (b^2 + ac) = a^2 + ab + b^2 + ac$.

Разность — многочлен из всех членов уменьшаемого и взятых с противоположными знаками всех членов вычитаемого (формула).

Переход от записи со скобками к записи без них называют раскрытием скобок, обратный — заключением в скобки.

• «$+$» перед скобками: скобки опускаем, знаки слагаемых не меняются. Нет знака перед скобками — значит, стоит плюс.
• «$-$» перед скобками: скобки опускаем, знак каждого слагаемого в скобках меняется на противоположный: $(a - b) + (d - c) - (x - y) - (z - t) = a - b + d - c - x + y - z + t$.
• Заключение в скобки со знаком «$+$»: члены пишем в скобках с теми же знаками: $a - b - c + d = (a - b) + (-c + d)$.
• Со знаком «$-$»: все члены — с противоположными знаками: $a - b - c + d = (a - b) - (c - d)$.

1. а) $7a - 3b - 5a - 3b - a + 5b = (7 - 5 - 1)a + (-3 - 3 + 5)b = a - b$.
2. б) $43x - 19y - 15x + 34y + 9x - 7y = (43 - 15 + 9)x + (-19 + 34 - 7)y = 37x + 8y$.
3. в) $5 - 7a - 8 + 6a + 5 + a = (5 - 8 + 5) + (-7 + 6 + 1)a = 2$. Все буквы сократились — остался многочлен нулевой степени.

1. а) $x^2 + 4x + x^2 - x + 1 - x^2 + x = (1 + 1 - 1)x^2 + (4 - 1 + 1)x + 1 = x^2 + 4x + 1$.
2. б) Вынесем знак минус: все знаки внутри меняются. $(2a - 3b) = -(-2a + 3b) = -(3b - 2a)$.
3. $(-7a + 8) = -(7a - 8)$. Этот приём понадобится при разложении на множители: $a - b = -(b - a)$.

1. Перед скобками «$+$» (или ничего) — раскрываем, знаки не меняем: $3x + 5 + x + 5 = 1 - x + 4$.
2. Приводим подобные в каждой части: $4x + 10 = 5 - x$.
3. Переносим: $4x + x = 5 - 10$, $\ 5x = -5$, $\ x = -1$.

• Многочлен — сумма одночленов; стандартный вид — члены стандартны, подобных нет.
• Степень многочлена — наибольшая степень его членов.
• Сумма — все члены; разность — члены вычитаемого с противоположными знаками.
• Минус перед скобками меняет знак каждого члена в скобках.