Числа и вычисления · 9 класс · урок 1 из 5 · Никольский, «Алгебра 9», гл. 2, § 4

Функция y = xⁿ

Выход к заданиям: ЕГЭ №7, ЕГЭ №8, ЕГЭ №10, ЕГЭ №12, ЕГЭ №16

Сначала нужно знать: Степень с натуральным показателем, график y = x²
Зачем этот урок: ЕГЭ №7: уравнения вида (x + a)ⁿ = b; основа для корней степени n
Дальше: Корень степени n

Корень n-й степени · урок 1

Функция y = xⁿ

Свойства и графики при x ≥ 0, чётные и нечётные степени

Функция y = xⁿ при x ≥ 0

Функции $y = x^2,\ y = x^3,\ y = x^4,\ \dots$ , рассматриваемые только на промежутке $[0; +\infty)$ , имеют одинаковые свойства. Поэтому рассматривают сразу функцию $y = x^n,\ x \ge 0$ , где $n$ — любое натуральное число, большее $1$ .

1) если $x = 0$ , то $y = 0$ ; 2) если $x = 1$ , то $y = 1$ — график проходит через $(0; 0)$ и $(1; 1)$ ;
3) если $x > 0$ , то $y > 0$ — при $x > 0$ график лежит выше оси $Ox$ ;
4) функция возрастает на $[0; +\infty)$ : если $0 \le x_1 < x_2$ , то $x_1^n < x_2^n$ ;
5) если $x \to +\infty$ , то $y \to +\infty$ : $x$ пробегает $1, 2, 3, \dots$ — $y$ пробегает $1^n, 2^n, 3^n, \dots$ ;
6) функция непрерывна на $[0; +\infty)$ — её график сплошная линия.

Почему функция непрерывна

При $n = 2$ это видно, если считать $y$ площадью квадрата со стороной $x$ : малое изменение стороны даёт малое изменение площади.

При $n = 3$ — объём куба с ребром $x$ : малое изменение ребра даёт малое изменение объёма.

Для $n \ge 4$ свойство надо доказывать; доказательство в школьном курсе не приводится. Свойства 3 и 4 строго доказывают методом математической индукции.

Как расположены графики y = x, x², x³, …

На интервале $(0; 1)$ : $1 > x > x^2 > x^3 > x^4 > \dots$ Доказательство: умножим $1 > x$ на $x > 0$ — получим $x > x^2$ ; умножим ещё раз на $x$ — $x^2 > x^3$ , и так далее.
Поэтому на $(0; 1)$ график $y = x^3$ лежит ниже графика $y = x^2$ , график $y = x^4$ — ниже $y = x^3$ .
На интервале $(1; +\infty)$ : $1 < x < x^2 < x^3 < \dots$ (умножаем $1 < x$ на $x > 0$ ). Здесь график с большей степенью лежит выше.

Чётные степени: y = x²ᵐ

При чётном $n = 2m$ : $(-x)^{2m} = \bigl((-1)\cdot x\bigr)^{2m} = \bigl((-1)^2\bigr)^m x^{2m} = 1^m \cdot x^{2m} = x^{2m}$ .

Значит, функция $y = x^{2m}$ чётная, её график симметричен относительно оси $Oy$ .

Она убывает на $(-\infty; 0]$ , возрастает на $[0; +\infty)$ и принимает все значения из $[0; +\infty)$ .

Нечётные степени: y = x²ᵐ⁺¹

При нечётном $n = 2m + 1$ : $(-x)^{2m+1} = (-x)^{2m}\cdot(-x) = x^{2m}\cdot(-1)\cdot x = -x^{2m+1}$ .

Значит, функция $y = x^{2m+1}$ нечётная, её график симметричен относительно начала координат.

Она возрастает на всей оси $(-\infty; +\infty)$ и принимает все значения из $(-\infty; +\infty)$ . Обе функции, $y = x^{2m}$ и $y = x^{2m+1}$ , непрерывны на всей оси.

Сводка свойств

	$n$ чётное: $y = x^{2m}$	$n$ нечётное: $y = x^{2m+1}$
Область определения	$(-\infty; +\infty)$	$(-\infty; +\infty)$
Область значений	$[0; +\infty)$	$(-\infty; +\infty)$
Чётность	чётная, симметрия относительно $Oy$	нечётная, симметрия относительно $O$
Монотонность	убывает на $(-\infty; 0]$ , возрастает на $[0; +\infty)$	возрастает на $(-\infty; +\infty)$
Точки графика	$(0; 0),\ (1; 1),\ (-1; 1)$	$(0; 0),\ (1; 1),\ (-1; -1)$

Каждое значение $b > 0$ функция с чётной степенью принимает дважды (в точках $\pm x_0$ ), нечётная — один раз. На этом построена теория корней.

Никольский, № 227, 228Пример 1

Принадлежит ли графику функции

y = x^5

точка: а)

A(-1; -1)

; б)

B(2; 64)

; в)

C(2; 32)

? Графику функции

y = x^6

точка: г)

A(-2; 64)

; д)

B(-1; 1)

; е)

C(2; 32)

Точка $(x_0; y_0)$ лежит на графике, если $y_0 = x_0^n$ .
$y = x^5$ : $(-1)^5 = -1$ — да; $2^5 = 32 \ne 64$ — нет; $2^5 = 32$ — да.
$y = x^6$ : $(-2)^6 = 64$ — да; $(-1)^6 = 1$ — да; $2^6 = 64 \ne 32$ — нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) да; е) нет

Никольский, № 232Пример 2

Сравните значения функций

y = x^4

y = x^6

при: а)

x > 1

; б)

x < -1

; в)

-1 < x < 0

; г)

0 < x < 1

Обе функции чётные, поэтому $x^4 = |x|^4$ , $x^6 = |x|^6$ — сравниваем степени числа $|x|$ .
а), б) $|x| > 1$ : большая степень больше, $x^4 < x^6$ .
в), г) $0 < |x| < 1$ : большая степень меньше, $x^4 > x^6$ .

Ответ: а) $x^4 < x^6$ ; б) $x^4 < x^6$ ; в) $x^4 > x^6$ ; г) $x^4 > x^6$

Никольский, № 234, 235Пример 3

а) Для

y = x^9

сравните

y(-1)

y(1)

y(4)

y(-5)

. б) Сравните с единицей значения функции

y = x^{18}

y(0{,}5)

y(-2)

y(0)

y(-1)

а) $y = x^9$ возрастает на всей оси: $-1 < 1 \Rightarrow y(-1) < y(1)$ ; $4 > -5 \Rightarrow y(4) > y(-5)$ .
б) $y = x^{18}$ чётная, $y(x) = |x|^{18}$ : $0{,}5^{18} < 1$ , $(-2)^{18} = 2^{18} > 1$ , $0^{18} = 0 < 1$ , $(-1)^{18} = 1$ .

Ответ: а) $y(-1) < y(1)$ , $y(4) > y(-5)$ ; б) $< 1$ , $> 1$ , $< 1$ , $= 1$

ЕГЭ, задание 7Пример 4

Найдите корень уравнения

(x - 1)^3 = 8

Функция $y = t^3$ возрастает на всей оси, поэтому значение $8$ она принимает ровно при одном $t$ : $t = 2$ , так как $2^3 = 8$ .
$x - 1 = 2$ , $x = 3$ .

Ответ: 3

ЕГЭ, задание 7Пример 5

Найдите корень уравнения

(x + 2)^5 = 32

$y = t^5$ — нечётная степень, возрастает, значение $32 = 2^5$ принимается только при $t = 2$ .
$x + 2 = 2$ , $x = 0$ .

Ответ: 0

Главное

$y = x^n$ , $x \ge 0$ : проходит через $(0; 0)$ и $(1; 1)$ , возрастает, непрерывна.
На $(0; 1)$ большая степень меньше, на $(1; +\infty)$ — больше.
$n$ чётное — функция чётная, значения $[0; +\infty)$ ; $n$ нечётное — нечётная, возрастает на всей оси.
Нечётная степень принимает каждое значение один раз — уравнение $t^{2m+1} = b$ имеет один корень.

Функция y = xⁿ

Все уроки станции «Корень n-й степени»