Корень степени n. Чётные и нечётные степени

Корень n-й степени · урок 2

Корень степени n

Корни чётной и нечётной степени, арифметический корень

Понятие корня степени n

Корень степени $2$ — квадратный корень, корень степени $3$ — кубический.
$0^3 = 0,\ 2^3 = 8,\ (-2)^3 = -8,\ (-3)^3 = -27$ : числа $0, 2, -2, -3$ — кубические корни из $0, 8, -8, -27$ .
$2^5 = 32$ , $(-2)^5 = -32$ : $2$ и $-2$ — корни пятой степени из $32$ и $-32$ .
$2^4 = 16$ и $(-2)^4 = 16$ : из $16$ два корня четвёртой степени, $2$ и $-2$ . Корня четвёртой степени из отрицательного числа нет: четвёртая степень любого числа неотрицательна.

Пусть

n

— натуральное число,

n \ge 2

. Корнем степени $n$ из числа $a$ называют такое число (если оно существует),

n

-я степень которого равна

a

.

Теорема 1. Корень нечётной степени

Доказательство. Нечётное $n = 2m + 1$ . Функция $y = x^{2m+1}$ возрастает на всей оси и принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$ , её график — непрерывная кривая через начало координат.

Прямая $y = a$ пересекает график в одной точке $M$ (единственность — из возрастания). Её абсцисса $b$ — единственное число с $b^{2m+1} = a$ . Если $a > 0$ , то $b > 0$ ; если $a < 0$ , то $b < 0$ ; если $a = 0$ , то $b = 0$ .

Обозначение: $\sqrt[2m+1]{a}$ . Примеры: $\sqrt[3]{8} = 2$ , $\sqrt[3]{-8} = -2$ , $\sqrt[5]{100\,000} = 10$ , $\sqrt[5]{-100\,000} = -10$ .

Существует, и притом единственный, корень нечётной степени из любого числа

a

. Из положительного числа он положителен, из отрицательного — отрицателен, из нуля — нуль.

Теорема 2. Корень чётной степени

Доказательство. Ненулевое число в чётной степени $2m$ положительно, нуль — нуль. Отсюда корень из $0$ единственный, а из отрицательного числа корня нет.

Пусть $a > 0$ . Функция $y = x^{2m}$ убывает на $(-\infty; 0]$ от $+\infty$ до $0$ и возрастает на $[0; +\infty)$ ; график симметричен относительно $Oy$ . Прямая $y = a$ пересекает его ровно в двух точках $M$ и $N$ с абсциссами $-b$ и $b$ : $(-b)^{2m} = b^{2m} = a$ .

Положительный корень обозначают $\sqrt[2m]{a}$ , отрицательный — $-\sqrt[2m]{a}$ : $\sqrt[4]{16} = 2$ , $-\sqrt[4]{16} = -2$ , $\sqrt[6]{1\,000\,000} = 10$ . Записи $\sqrt[4]{-16}$ , $\sqrt[6]{-1}$ не имеют смысла.

Из любого положительного числа существуют два и только два корня чётной степени, они отличаются лишь знаками. Корень чётной степени из

0

единственный и равен

0

. Из отрицательного числа корня чётной степени не существует.

Сводка: сколько корней степени n из числа a

	$a > 0$	$a = 0$	$a < 0$
$n$ нечётное	один, $\sqrt[n]{a} > 0$	один, $0$	один, $\sqrt[n]{a} < 0$
$n$ чётное	два: $\sqrt[n]{a}$ и $-\sqrt[n]{a}$	один, $0$	нет

Слова «корня чётной степени из отрицательного числа не существует» означают: нет действительного числа — такие корни есть среди комплексных чисел (11 класс).

Арифметический корень

При нечётном $n$ корень из $a \ge 0$ единственный и неотрицательный — он и есть арифметический.
При чётном $n$ из $a > 0$ два корня; арифметический — положительный $\sqrt[n]{a}$ . По определению $\sqrt[n]{0} = 0$ .
$\sqrt[n]{a}$ при $a \ge 0$ — арифметический корень: $\sqrt{3},\ \sqrt[3]{0},\ \sqrt[5]{15}$ .
$\sqrt[2m+1]{a}$ при $a < 0$ — корень, но не арифметический: $\sqrt[3]{-4},\ \sqrt[5]{-8}$ . Запись $\sqrt[2m]{a}$ при $a < 0$ смысла не имеет.

Неотрицательный корень степени

n

(

n \ge 2

) из неотрицательного числа

a

называют арифметическим корнем степени

n

из

a

.

Теоремы 1 и 2 об арифметическом корне

Доказательство. $\sqrt[n]{a}$ — по определению неотрицательное число, $n$ -я степень которого равна $a$ : это и есть первое равенство. Число $a^n \ge 0$ , а $\sqrt[n]{a^n}$ — неотрицательное число, $n$ -я степень которого $a^n$ ; таким числом является $a$ , другого неотрицательного нет.

Примеры: $\left(\sqrt[4]{2}\right)^4 = 2$ , $\left(\sqrt[7]{7}\right)^7 = 7$ , $\sqrt[4]{3^4} = 3$ , $\sqrt[5]{100^5} = 100$ .

Теорема 2. Если $a \ge 0$ , $b \ge 0$ и $a^n = b^n$ , то $a = b$ . Доказательство: $a = \sqrt[n]{a^n} = \sqrt[n]{b^n} = b$ — арифметический корень из одного числа единственный.

\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a, \qquad \sqrt[n]{a^n} = a \qquad (a \ge 0)

Теорема 3. Корень из произведения и частного

Доказательство. $\left(\sqrt[n]{ab}\right)^n = ab$ и $\left(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\right)^n = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n\left(\sqrt[n]{b}\right)^n = ab$ . Оба числа неотрицательны и их $n$ -е степени равны — по теореме 2 равны и сами числа. Для частного — так же.

Примеры: $\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16\cdot 3} = 2\sqrt[4]{3}$ , $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$ , $\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}} = \dfrac23$ .

Замечание. Для нечётного $n$ теоремы 1–3 верны при любых $a, b, c$ ( $c \ne 0$ ). В частности, $\sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a}$ : $\sqrt[3]{-27} = -3$ , $\sqrt[5]{-1} = -1$ .

\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac ac} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{c}} \qquad (a, b \ge 0,\ c > 0)

Вынесение и внесение множителя, иррациональность в знаменателе

Вынесение: $\sqrt[3]{-135} = -\sqrt[3]{3^3\cdot 5} = -\sqrt[3]{3^3}\cdot\sqrt[3]{5} = -3\sqrt[3]{5}$ .
Внесение: $-2\sqrt[4]{3} = -\sqrt[4]{2^4}\cdot\sqrt[4]{3} = -\sqrt[4]{2^4\cdot 3} = -\sqrt[4]{48}$ . Под корень чётной степени вносим только положительный множитель, минус остаётся снаружи.
Знаменатель: $\dfrac{2}{\sqrt[3]{9}} = \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2}\cdot\sqrt[3]{3}} = \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{3}$ — домножаем до полной степени.
Уравнения: $x^7 = 2$ имеет единственный корень $\sqrt[7]{2}$ ; $x^{10} = 3$ — два корня $\pm\sqrt[10]{3}$ ; $x^4 = -5$ — корней нет.

Никольский, с. 90Пример 1

Решите уравнение

x^{16} - 5x^8 + 6 = 0

.

Новое неизвестное $t = x^8$ : $t^2 - 5t + 6 = 0$ , $t_1 = 2$ , $t_2 = 3$ .
$x^8 = 2$ : два корня $\pm\sqrt[8]{2}$ (чётная степень, $2 > 0$ ).
$x^8 = 3$ : два корня $\pm\sqrt[8]{3}$ .

Ответ: $\pm\sqrt[8]{2};\ \pm\sqrt[8]{3}$

Никольский, № 287, 290Пример 2

а) Вынесите множитель из-под знака корня:

\sqrt[3]{40}

,

\sqrt[5]{-64}

,

\sqrt[3]{54}

. б) Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}

,

\dfrac{3}{\sqrt[3]{-4}}

.

а) $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8\cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$ ; $\sqrt[5]{-64} = -\sqrt[5]{32\cdot 2} = -2\sqrt[5]{2}$ ; $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$ .
б) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}$ ; $\dfrac{3}{\sqrt[3]{-4}} = -\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}} = -\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ .

Ответ: а) $2\sqrt[3]{5}$ , $-2\sqrt[5]{2}$ , $3\sqrt[3]{2}$ ; б) $\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}$ , $-\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

ЕГЭ, задание 8Пример 3

Найдите значение выражения

\dfrac{\sqrt[5]{10}\cdot\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{5}}

.

По теореме 3: $\dfrac{\sqrt[5]{10\cdot 16}}{\sqrt[5]{5}} = \sqrt[5]{\dfrac{160}{5}} = \sqrt[5]{32}$ .
$2^5 = 32$ , поэтому $\sqrt[5]{32} = 2$ .

Ответ: 2

ЕГЭ, задание 7Пример 4

Найдите корень уравнения

\sqrt[3]{x - 4} = 3

.

По определению кубического корня $x - 4 = 3^3 = 27$ — корень нечётной степени из любого числа единственный.
$x = 31$ .

Ответ: 31

ЕГЭ, задание 7Пример 5

Найдите корень уравнения

(x + 8)^5 = 243

.

Нечётная степень: $x + 8 = \sqrt[5]{243} = 3$ , так как $3^5 = 243$ .
$x = -5$ .

Ответ: −5

Главное

Корень степени $n$ из $a$ — число, $n$ -я степень которого равна $a$ .
Нечётная степень: корень есть из любого числа и он один; $\sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a}$ .
Чётная степень: из $a > 0$ два корня $\pm\sqrt[n]{a}$ , из $0$ — один, из $a < 0$ — ни одного.
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = \sqrt[n]{a^n} = a$ , $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ , $\sqrt[n]{\tfrac ac} = \tfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{c}}$ ( $a, b \ge 0$ , $c > 0$ ).

Все уроки станции «Корень n-й степени»