Функция y = ⁿ√x. Иррациональные уравнения

Каждому $x \ge 0$ поставим в соответствие арифметический корень $\sqrt[n]{x}$ ($n \ge 2$). Область определения — $[0; +\infty)$.

• 1) $\sqrt[n]{0} = 0$; 2) если $x > 0$, то $y > 0$;
• 3) функция возрастает на $[0; +\infty)$; 4) если $x \to +\infty$, то $y \to +\infty$; 5) функция непрерывна на $[0; +\infty)$.
• Доказательство свойства 3 (от противного). Пусть $0 \le x_1 < x_2$, но $\sqrt[n]{x_1} \ge \sqrt[n]{x_2}$. Возведём неотрицательные числа в степень $n$: $x_1 \ge x_2$ — противоречие.
• Свойство 4: когда $x$ пробегает $1^n, 2^n, 3^n, \dots$, значения $y$ пробегают $1, 2, 3, \dots$

• 6) Если $x > 1$, то $\sqrt[n]{x} > 1$; 7) если $0 < x < 1$, то $0 < \sqrt[n]{x} < 1$ — из возрастания и $\sqrt[n]{1} = 1$.
• 8) При $0 < x < 1$: $x < \sqrt{x} < \sqrt[3]{x} < \sqrt[4]{x} < \dots$ Например, $(\sqrt{x})^6 = x^3 < x^2 = (\sqrt[3]{x})^6$, откуда $\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}$.
• 9) При $x > 1$: $x > \sqrt{x} > \sqrt[3]{x} > \dots$ — график корня большей степени лежит ниже.
• Нечётный корень на всей оси. $y = \sqrt[2m+1]{x}$ определена при всех $x$, нечётна ($\sqrt[2m+1]{-x} = -\sqrt[2m+1]{x}$) и возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

$n$-я степень натурального числа натуральна, но не всякое натуральное число — $n$-я степень: среди чисел до $1000$ кубов только $10$.

Факт: $\sqrt[n]{N}$ из натурального $N$ — либо натуральное, либо иррациональное число. $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[4]{3}$, $\sqrt[5]{19}$ иррациональны; $\sqrt[3]{729} = 9$ — натуральное.

Приближённое извлечение $\sqrt[3]{17}$: $2^3 = 8 < 17 < 27 = 3^3$ ⇒ $2 < \sqrt[3]{17} < 3$; $2{,}5^3 = 15{,}625 < 17 < 17{,}576 = 2{,}6^3$; $2{,}57^3 = 16{,}974\ldots < 17 < 17{,}173\ldots = 2{,}58^3$. Итак, $\sqrt[3]{17} = 2{,}57\ldots$

• Уравнение (2) — следствие уравнения (1), если любой корень (1) является корнем (2). Но у следствия могут быть лишние корни — посторонние для (1).
• Пример: $-x = \sqrt{x}$ имеет корень $0$; его квадрат $x^2 = x$ имеет корни $0$ и $1$; $1$ — посторонний.
• Возведение в чётную степень $f^{2m} = g^{2m}$ даёт уравнение-следствие — проверка корней обязательна.
• Возведение в нечётную степень $f^{2m+1} = g^{2m+1}$ даёт уравнение, равносильное исходному, — проверка не нужна.

1. Возводим в квадрат (следствие): $(x - 2)^2 = 3x - 2$, $x^2 - 7x + 6 = 0$, $x_1 = 6$, $x_2 = 1$.
2. Проверка: $x = 6$: $6 - 2 = 4$ и $\sqrt{16} = 4$ — корень.
3. $x = 1$: $1 - 2 = -1$, а $\sqrt{1} = 1$, $-1 \ne 1$ — посторонний.

1. Возводим в четвёртую степень: $x + 3 = (x + 1)^2$, $x^2 + x - 2 = 0$, $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
2. $x = 1$: $\sqrt[4]{4} = \sqrt2$ и $\sqrt{2}$ — корень.
3. $x = -2$: $\sqrt{-1}$ не имеет смысла — посторонний.

1. Квадрат: $x + 1 + 2\sqrt{x + 1}\sqrt{x + 6} + x + 6 = 3x + 16$, то есть $2\sqrt{x + 1}\sqrt{x + 6} = x + 9$.
2. Ещё раз в квадрат: $4(x + 1)(x + 6) = (x + 9)^2$, $3x^2 + 10x - 57 = 0$, $x_1 = 3$, $x_2 = -\dfrac{19}{3}$.
3. $x = 3$: $2 + 3 = 5 = \sqrt{25}$ — корень; при $x = -\dfrac{19}{3}$ корни $\sqrt{x + 1}$ не существуют — посторонний.

1. Возведение в нечётную (третью) степень — равносильный переход: $7x + 1 = (x + 1)^3$.
2. $x^3 + 3x^2 - 4x = 0$, $x(x + 4)(x - 1) = 0$.
3. Проверка не нужна: все три числа — корни.

1. $t = \sqrt{x^2 + 2x + 10}$, тогда $2x^2 + 4x + 18 = 2t^2 - 2$: $\sqrt{2t^2 - 2} = 7 - t$.
2. Квадрат: $2t^2 - 2 = 49 - 14t + t^2$, $t^2 + 14t - 51 = 0$, $t = 3$ или $t = -17$; оба проходят проверку в уравнении с $t$.
3. $\sqrt{x^2 + 2x + 10} = -17$ — корней нет; $\sqrt{x^2 + 2x + 10} = 3$: $x^2 + 2x + 1 = 0$, $x = -1$.

1. Произведение равно нулю, если один множитель равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
2. $x^2 - 4 = 0$: $x = 2$ (второй множитель определён) и $x = -2$ ($\sqrt{-3}$ не имеет смысла — не корень).
3. $\sqrt{x - 1} = 2$: $x = 5$.

1. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: $\dfrac{6}{4x - 54} = \dfrac{1}{49}$.
2. $4x - 54 = 294$, $x = 87$. Подкоренное выражение $\dfrac{6}{294} > 0$ — корень подходит.

1. Квадрат: $12 + x = x^2$, $x^2 - x - 12 = 0$, $x = 4$ или $x = -3$.
2. Правая часть равна корню, значит $x \ge 0$: $x = -3$ — посторонний ($\sqrt{9} = 3 \ne -3$).
3. Остаётся единственный корень $4$.

1. Квадрат: $-72 - 17x = x^2$, $x^2 + 17x + 72 = 0$, $x = -8$ или $x = -9$.
2. Условие $-x \ge 0$ выполнено для обоих: $\sqrt{64} = 8$, $\sqrt{81} = 9$ — оба корня.
3. Меньший — $-9$.

• $y = \sqrt[n]{x}$ возрастает на $[0; +\infty)$, график — отражение $y = x^n$ ($x \ge 0$) в прямой $y = x$.
• Нечётный корень определён при всех $x$ и нечётен.
• Чётная степень → уравнение-следствие → проверка; нечётная степень → равносильно.
• $f\cdot g = 0$: корни каждого множителя, при которых другой множитель имеет смысл.