Свойства корней степени n

Для натуральных $m, n \ge 2$ и $a \ge 0$. Все числа в обеих частях неотрицательны, поэтому по теореме 2 п. 5.3 достаточно проверить, что равны их степени.

(1) В степень $n$: $\bigl(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\bigr)^n = \bigl(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\bigr)^m = a^m$ и $\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^n = a^m$.

(2) В степень $mn$: $\left(\sqrt[mn]{a^m}\right)^{mn} = a^m$ и $\left(\sqrt[n]{a}\right)^{mn} = \bigl(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\bigr)^m = a^m$.

(3) В степень $mn$: $\left(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right)^{mn} = \Bigl(\bigl(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\bigr)^m\Bigr)^n = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$ и $\left(\sqrt[mn]{a}\right)^{mn} = a$.

• $\sqrt{4^3} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$; $\sqrt[3]{\dfrac{1}{27^4}} = \left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}\right)^4 = \dfrac{1}{3^4} = \dfrac{1}{81}$.
• $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}$ — сокращение показателей корня и степени на общий множитель.
• $\sqrt[3]{\sqrt{12}} = \sqrt[6]{12}$; $\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2$.
• Замечание. Если $m$ и $n$ нечётные, теорема 1 верна для любых $a$, в том числе отрицательных.

Доказательство. Для любого $a$: $a^{2m} = |a|^{2m} \ge 0$. По равенству $\sqrt[n]{b^n} = b$ для $b = |a| \ge 0$ получаем $\sqrt[2m]{a^{2m}} = \sqrt[2m]{|a|^{2m}} = |a|$.

Примеры: $\sqrt[6]{(-3)^6} = |-3| = 3$, $\sqrt[4]{5^4} = 5$, $\sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$.

Для нечётной степени модуль не нужен: $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$. Это следует из $\sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a}$.

Доказательство. При натуральном $p$ это равенство (1) теоремы 1. При $p = 0$ обе части равны $1$.

При $p < 0$ пишем $p = -|p|$: $\sqrt[n]{a^p} = \sqrt[n]{\dfrac{1}{a^{|p|}}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{|p|}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[n]{a}\right)^{|p|}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^p$.

Примеры: $\sqrt[3]{27^{-1}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^{-1} = 3^{-1}$; $\sqrt{9^3} = \left(\sqrt9\right)^3 = 27$.

• К одному показателю. $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt{2}$: $\sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$, $\sqrt2 = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$. Так корни умножают и сравнивают: $\sqrt[3]{3} > \sqrt2$.
• Вынесение с буквами: $\sqrt[3]{16x^4y^6} = \sqrt[3]{2^3x^3(y^2)^3\cdot 2x} = 2xy^2\sqrt[3]{2x}$.
• Корень чётной степени из буквы в чётной степени даёт модуль: $\sqrt[4]{5x^4} = |x|\sqrt[4]{5}$, при $x < 0$ это $-x\sqrt[4]{5}$.
• Через показатели. Если все корни из одного числа $a > 0$, удобно сложить «доли»: $\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{a^2}\cdot\sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{a^3} = \sqrt{a}$.

1. а) $\sqrt[6]{3^3} = \sqrt{3}$; б) $\sqrt[9]{2^6} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.
2. в) Вносим $2$ под корень: $2\sqrt3 = \sqrt{12}$, $\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[4]{12}$.
3. г) $3\sqrt2 = \sqrt{18}$, $\sqrt[3]{\sqrt{18}} = \sqrt[6]{18}$.

1. Приводим к показателю $18$: $\sqrt[9]{7} = \sqrt[18]{7^2}$, $\sqrt[6]{7} = \sqrt[18]{7^3}$.
2. $\dfrac{\sqrt[18]{7^2}\cdot\sqrt[18]{7}}{\sqrt[18]{7^3}} = \sqrt[18]{\dfrac{7^3}{7^3}} = 1$.

1. $243 = 3^5$: $\sqrt[6]{3^5}\cdot\sqrt[30]{3^5} = \sqrt[6]{3^5}\cdot\sqrt[6]{3}$ (сократили $\sqrt[30]{3^5} = \sqrt[6]{3}$).
2. $\sqrt[6]{3^6} = 3$, итого $9 \cdot 3 = 27$.

1. По теореме 2: $|a - 6| + |a - 10|$.
2. При $6 \le a \le 10$: $a - 6 \ge 0$, $a - 10 \le 0$, сумма $(a - 6) + (10 - a) = 4$.

1. $\sqrt{81\sqrt[7]{b}} = \sqrt{81}\cdot\sqrt{\sqrt[7]{b}} = 9\sqrt[14]{b}$.
2. $\dfrac{9\sqrt[14]{b}}{\sqrt[14]{b}} = 9$.

1. Корень из корня: $\sqrt[5]{\sqrt[28]{a}} = \sqrt[140]{a}$, $\sqrt[7]{\sqrt[20]{a}} = \sqrt[140]{a}$, $\sqrt[35]{\sqrt[4]{a}} = \sqrt[140]{a}$.
2. $\dfrac{15\sqrt[140]{a} - 7\sqrt[140]{a}}{2\sqrt[140]{a}} = \dfrac{8}{2} = 4$.

• $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$, $\sqrt[mn]{a^m} = \sqrt[n]{a}$, $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ ($a \ge 0$).
• $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$ — модуль обязателен; $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}} = a$.
• Корни из одного числа приводят к общему показателю и складывают доли.
• Буквенное выражение с чётным корнем — смотрим знак выражения под модулем по условию.