Степень с рациональным показателем

Степень с целым показателем уже известна. Определим степень положительного числа $a$ с рациональным показателем $\dfrac pq$: это арифметический корень степени $q$ из $a^p$.

Примеры: $5^{\frac23} = \sqrt[3]{5^2}$, $3^{\frac12} = \sqrt{3}$, $7^{\frac15} = \sqrt[5]{7}$, $2^{-\frac34} = \sqrt[4]{2^{-3}}$.

Замечание 3. При $\dfrac pq > 0$ считают $0^{\frac pq} = 0$; при $\dfrac pq \le 0$ запись $0^{\frac pq}$ смысла не имеет. Отрицательные основания в дробную степень не возводят.

(1) $a^{\frac pq} = \sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \left(a^{\frac1q}\right)^p$ — по теореме 3 п. 5.4.

(2) $a^{\frac{pk}{qk}} = \sqrt[qk]{a^{pk}} = \sqrt[qk]{(a^p)^k} = \sqrt[q]{a^p} = a^{\frac pq}$ — сокращение показателей корня.

(3) $a^{\frac{pq}{q}} = \sqrt[q]{a^{pq}} = \sqrt[q]{(a^p)^q} = a^p$.

Равенство (2) значит: $a^r$ зависит от самого числа $r$, а не от формы записи дроби ($\tfrac23 = \tfrac46$) — определение непротиворечиво. Равенство (3): оно включает старое определение для целых показателей.

• $27^{\frac23} = \left(27^{\frac13}\right)^2 = 3^2 = 9$.
• $6^{\frac{6}{8}} = 6^{\frac34}$; $2^{\frac{12}{3}} = 2^4 = 16$.
• $16^{0{,}25} = 16^{\frac14} = \sqrt[4]{16} = 2$; $8^{-\frac13} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac12$.
• Корень любой степени записывается степенью: $\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac35}$, $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = a^{-\frac12}$.

Теорема 1. $a^r > 0$ при $a > 0$: $a^{\frac1q} = \sqrt[q]{a} > 0$, и $a^{\frac pq} = \left(a^{\frac1q}\right)^p > 0$ как целая степень положительного числа.

Теорема 2 (доказательство первого свойства). Приведём к общему знаменателю $r_1 = \dfrac mn$, $r_2 = \dfrac kn$: $a^{\frac mn}a^{\frac kn} = \sqrt[n]{a^m}\cdot\sqrt[n]{a^k} = \sqrt[n]{a^{m + k}} = a^{\frac{m + k}{n}} = a^{r_1 + r_2}$.

Отсюда $a^r \cdot a^{-r} = a^0 = 1$ — второе свойство; деление сводится к умножению на $a^{-r_2}$.

Четвёртое: $r_1 = \tfrac mn$, $r_2 = \tfrac kl$: $\left(a^{\frac mn}\right)^{\frac kl} = \sqrt[l]{\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^k} = \sqrt[nl]{a^{mk}} = a^{\frac{mk}{nl}}$.

Доказательство. $r = \dfrac pq$: $(ab)^{\frac pq} = \sqrt[q]{(ab)^p} = \sqrt[q]{a^pb^p} = \sqrt[q]{a^p}\cdot\sqrt[q]{b^p} = a^{\frac pq}b^{\frac pq}$.

Примеры: $(0{,}125)^{\frac13}\cdot 8^{\frac13} = (0{,}125\cdot 8)^{\frac13} = 1$; $\dfrac{4{,}4^{\frac13}}{0{,}55^{\frac13}} = \left(\dfrac{4{,}4}{0{,}55}\right)^{\frac13} = 8^{\frac13} = 2$.

$2^{\frac12}\cdot 2^{\frac14} = 2^{\frac34}$, $3^{\frac34} : 3^{\frac14} = 3^{\frac12} = \sqrt3$, $\left(3^{\frac12}\right)^4 = 3^2 = 9$.

1. а) $\sqrt{25} = 5$, $\sqrt[3]{27} = 3$, $\sqrt[4]{16} = 2$.
2. б) $\left(25^{\frac12}\right)^3 = 125$, $\left(27^{\frac13}\right)^2 = 9$, $16^{\frac54} = \left(16^{\frac14}\right)^5 = 32$.
3. в) $\dfrac{1}{125}$, $\dfrac19$, $16^{-\frac34} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac18$.

1. а) $\left(\dfrac72\right)^2\cdot\dfrac75 = \dfrac{49}{4}\cdot\dfrac75 = \dfrac{343}{20} = 17{,}15$.
2. б) $(0{,}01)^{-\frac12} = \dfrac{1}{0{,}1} = 10$, $(6{,}25)^{-0{,}5} = \dfrac{1}{2{,}5} = 0{,}4$; произведение $4$.

1. $49^{\frac{5}{18}} = \left(7^2\right)^{\frac{5}{18}} = 7^{\frac59}$.
2. $7^{\frac49}\cdot 7^{\frac59} = 7^{\frac99} = 7$.

1. Знаменатель: $n^{\frac{1}{12} + \frac{3}{12}} = n^{\frac13}$.
2. $\dfrac{6n^{\frac13}}{n^{\frac13}} = 6$.

1. $(4a)^{2{,}5} = 4^{2{,}5}a^{2{,}5}$, а $a^2\sqrt a = a^{2 + 0{,}5} = a^{2{,}5}$.
2. $4^{2{,}5} = \left(4^{\frac12}\right)^5 = 2^5 = 32$.

1. $\sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}$; показатель дроби: $\dfrac13 + \dfrac14 - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4 + 3 - 1}{12} = \dfrac12$.
2. $\left(2^{\frac12}\right)^2 = 2$.

• $a^{\frac pq} = \sqrt[q]{a^p}$ при $a > 0$; значение не зависит от записи дроби.
• $a^{r_1}a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}$, $a^{r_1} : a^{r_2} = a^{r_1 - r_2}$, $\left(a^{r_1}\right)^{r_2} = a^{r_1r_2}$.
• $(ab)^r = a^rb^r$, $\left(\tfrac ab\right)^r = \tfrac{a^r}{b^r}$; $a^r > 0$.
• Корни из одного основания удобно переводить в степени и складывать показатели.