Что такое задача с параметром

Решить (относительно $x$) квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ — задача с тремя параметрами $a$, $b$, $c$. Неравенство $ax + b > 0$ — с двумя параметрами. Система $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1,\\ x + y = a\end{cases}$ — с одним параметром $a$.

Параметр — число, которое в задаче не задано конкретно, но во время решения считается известным и фиксированным. Неизвестное ищут, параметр — перебирают.

• Разбить область изменения параметра на участки, на каждом из которых уравнение решается одним и тем же методом.
• На каждом участке найти корни, выраженные через параметр. Приёмы — те же, что при числовых коэффициентах.
• По ходу решения участки могут дробиться: коэффициент обращается в нуль, меняется знак дискриминанта, корень выходит из области определения.
• Ответ — список участков с указанием всех корней для каждого. Трудность в том, что вместе с параметром меняются не только коэффициенты, но и метод решения.

• $(a + 1)x = a^2 - 1$. При $a = -1$: $0\cdot x = 0$ — любое $x$. При $a \ne -1$ уравнение первой степени: $x = a - 1$.
• $\dfrac{a - 1}{2ax + 3} = 1 \iff \dfrac{2ax + 4 - a}{2ax + 3} = 0$. При $a = 0$: $\dfrac{4}{3} = 0$ — корней нет.
• При $a \ne 0$: $2ax + 4 - a = 0$, $x_0 = \dfrac{a - 4}{2a}$. Знаменатель $2ax_0 + 3 = a - 1$ обращается в нуль при $a = 1$ — тогда $x_0$ посторонний.
• Ответ: при $a = 0$ и $a = 1$ корней нет; при остальных $a$ единственный корень $\dfrac{a - 4}{2a}$.

1. $x^2 + 1 > 0$ при всех $x$, поэтому уравнение равносильно $ax^2 - x + a - 1 = 0$.
2. $a = 0$: линейное $-x - 1 = 0$, корень $x = -1$.
3. $a \ne 0$: квадратное, $D = 1 + 4a - 4a^2$. $D < 0$ при $a < \dfrac{1 - \sqrt2}{2}$ или $a > \dfrac{1 + \sqrt2}{2}$ — корней нет.
4. $D = 0$ при $a = \dfrac{1 \pm \sqrt2}{2}$ — один корень $x = \dfrac{1}{2a}$. $\ D > 0$ при $a \in \left(\dfrac{1 - \sqrt2}{2};\ 0\right) \cup \left(0;\ \dfrac{1 + \sqrt2}{2}\right)$ — два корня $x = \dfrac{1 \pm \sqrt D}{2a}$.

1. Возведение в квадрат даёт следствие $x - a = 2x - 1 + a$ с единственным корнем $x_0 = 1 - 2a$.
2. Подставим: левая часть $\sqrt{1 - 2a - a} = \sqrt{1 - 3a}$, правая $\sqrt{2(1 - 2a) - 1 + a} = \sqrt{1 - 3a}$.
3. Неправильно заключить, что $x_0$ — корень при всех $a$: при $a > \tfrac13$ под корнем отрицательное число. При $a \le \tfrac13$ обе части определены и равны.

Во многих задачах (и во всех задачах ЕГЭ №19) нужно не решить уравнение при каждом $a$, а найти все значения параметра, при каждом из которых выполнено условие:

имеет единственный корень; ровно два (три, четыре) корня; хотя бы один корень; не имеет корней; выполняется при всех $x$ из отрезка; модуль разности корней наибольший.

Решая такую задачу, всё равно рассматриваем случаи по значениям $a$, но из ответа берём только подходящие значения.

1. По теореме Виета $x_1 + x_2 = 6$, $x_1x_2 = a^2 - 4a + 12$.
2. $|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{-4a^2 + 16a - 12} = 2\sqrt{1 - (a - 2)^2}$.
3. Выражение определено при $|a - 2| \le 1$ (корни существуют) и наибольшее, когда $(a - 2)^2 = 0$: тогда $|x_1 - x_2| = 2$.

1. Равносильно системе $\begin{cases} x^2 + (a + 2)x + 2a + 9 = 0,\\ x \ge 1.\end{cases}$ Нет решений, если у квадратного уравнения нет корней или все корни меньше $1$.
2. $D = (a + 2)^2 - 4(2a + 9) = a^2 - 4a - 32 < 0$ при $-4 < a < 8$.
3. Оба корня меньше $1$: для $f(x) = x^2 + (a + 2)x + 2a + 9$ нужно $D \ge 0$, вершина $-\dfrac{a + 2}{2} < 1$ и $f(1) = 3a + 12 > 0$, то есть $a \ge 8$.
4. Объединяем: $-4 < a < 8$ и $a \ge 8$. При $a = -4$ корень $x = 1$ есть.

• Параметр — фиксированное, но не заданное число; решить уравнение с параметром — найти корни при каждом его значении.
• Разбиваем значения параметра на участки: старший коэффициент равен нулю или нет, знак дискриминанта, область определения.
• Корень, найденный через параметр, проверяем: при каких $a$ он входит в область определения и не обнуляет знаменатель.
• Задача с условием: те же случаи, в ответ — только подходящие $a$.