Графический метод

Уравнение $f(x) = a$ имеет столько корней, сколько общих точек у графика $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$. Строим график один раз, а прямую двигаем вверх и вниз.

Чтобы уравнение приняло вид $f(x) = a$, параметр отделяют: $|x + 3| - a|x - 1| = 4 \iff a = \dfrac{|x + 3| - 4}{|x - 1|}$ при $x \ne 1$.

Если отделить не удаётся, сравнивают два графика: неподвижный $y = f(x)$ и подвижный $y = g(x;\ a)$ — угол, прямая, окружность, которые с изменением $a$ сдвигаются или поворачиваются.

• $y = a$ — горизонтальная прямая, движется вверх-вниз.
• $y = k(x - x_0) + y_0$ с параметром $k$ — прямая поворачивается вокруг точки $(x_0;\ y_0)$; $y = x + a$ — сдвигается параллельно.
• $y = c|x - a|$ — угол с вершиной $(a;\ 0)$ движется вдоль оси $Ox$; $y = |x| + a$ — вдоль оси $Oy$.
• $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ — окружность: параметр сдвигает центр или меняет радиус.
• Особые положения: прямая или угол проходит через «угловую» точку графика или касается его. Касание находим из условия $D = 0$ или равенства производных.

Угол едет слева направо. Пока он далеко слева, у правой стороны две общие точки с параболой, у левой — ни одной. При $a = 3{,}5$ левая сторона касается, при $a = 4$ вершины совпадают, при $a = 4{,}5$ касается правая сторона — в каждом из этих положений ровно три общие точки, в промежутках — две или четыре.

1. $x = 1$ — корень при любом $a$. Остальные корни — решения $a = f(x)$, $f(x) = \dfrac{|x + 3| - 4}{|x - 1|}$, $x \ne 1$; нужен ровно один такой корень.
2. $x < -3$: $f(x) = \dfrac{x + 7}{x - 1} = 1 + \dfrac{8}{x - 1}$ — убывает от $1$ до $f(-3) = -1$, каждое значение из $(-1;\ 1)$ принимает один раз.
3. $-3 \le x < 1$: $f(x) = -1$; $\ x > 1$: $f(x) = 1$ — значения $\pm 1$ принимаются бесконечно много раз.
4. Прямая $y = a$ пересекает график ровно в одной точке при $-1 < a < 1$.

Слева от $x = -3$ график — ветвь гиперболы между асимптотой $y = 1$ и точкой $(-3;\ -1)$; на $[-3;\ 1)$ — отрезок $y = -1$, правее $1$ — луч $y = 1$; точки с абсциссой $1$ выколоты. Прямая $y = a$ даёт одну общую точку только при $-1 < a < 1$ — вместе с корнем $x = 1$ два решения.

Параметр можно считать второй координатой: уравнение с неизвестным $x$ и параметром $a$ задаёт множество точек на плоскости $Oxa$. Решения при данном $a$ — точки пересечения этого множества с горизонтальной прямой $a = \text{const}$.

Удобно, когда уравнение легко выразить как $a = g(x)$ на разных участках или оно задаёт окружность: $x^2 - 6x + 12 + a^2 - 4a = 0 \iff (x - 3)^2 + (a - 2)^2 = 1$ — окружность, и наибольшая разность корней — на прямой $a = 2$ через центр.

1. $t = x - 3$, $y = t + a + 3$: решений системы столько же, сколько корней у $t(2t - a - 3) = |t|^3$. Корень $t = 0$ — при любом $a$.
2. $t > 0$: делим на $t$, $t^2 = 2t - a - 3$, то есть $a = -2 - (t - 1)^2$. $\ t < 0$: $-t^2 = 2t - a - 3$, то есть $a = (t + 1)^2 - 4$.
3. На плоскости $(t;\ a)$ две дуги парабол: правая — вершина $(1;\ -2)$, концы у $a = -3$; левая — вершина $(-1;\ -4)$, конец у $a = -3$. Прямая $a = c$ пересекает каждую дугу дважды при $-3 < c < -2$ и $-4 < c < -3$.
4. Вместе с $t = 0$ четыре решения при $a \in (-4;\ -3) \cup (-3;\ -2)$; при $a = -3$ дуги дают по одной точке — три решения.

• Отделили параметр: $a = f(x)$ — строим $y = f(x)$, считаем общие точки с прямой $y = a$.
• Не отделяется — неподвижный график и подвижный (угол, прямая, окружность); ищем положения прохода через вершины и касания.
• Касание: дискриминант равен нулю или равны значения и производные.
• Плоскость $(x;\ a)$: решения при данном $a$ — точки на горизонтальной прямой.