Аналитические методы

• $ax^2 < 1$. $a = 0$: $0 < 1$ — любое $x$. $a > 0$: $x^2 < \dfrac1a$, $x \in \left(-\dfrac{1}{\sqrt a};\ \dfrac{1}{\sqrt a}\right)$. $a < 0$: $x^2 > \dfrac1a$ — любое $x$.
• $x^2 + ax + 1 \ge 0$, $D = a^2 - 4$. При $a \in [-2;\ 2]$ $D \le 0$ — любое $x$. При $|a| > 2$: $x \in \left(-\infty;\ \dfrac{-a - \sqrt{a^2 - 4}}{2}\right] \cup \left[\dfrac{-a + \sqrt{a^2 - 4}}{2};\ +\infty\right)$.
• Случаи те же, что для уравнений, плюс знак множителя, на который делим или умножаем, и монотонность функции.

1. При $a \le 0$ и $a = 1$ логарифмы не имеют смысла — решений нет. При $0 < a < 1$ и $a > 1$ обе части определены на $(1;\ 7)$, и там неравенство равносильно $\log_a(7 - x) > \log_a(x - 1)^2$.
2. $0 < a < 1$: логарифм убывает, $7 - x < (x - 1)^2$, $x^2 - x - 6 > 0$: $x < -2$ или $x > 3$; на $(1;\ 7)$ — $(3;\ 7)$.
3. $a > 1$: логарифм возрастает, $7 - x > (x - 1)^2$, $-2 < x < 3$; на $(1;\ 7)$ — $(1;\ 3)$.

Любое $x$ — корень. $\log_{x^2 + a + 1}(ax^2 + 2) = 2\log_{7 + 2a}\left(5 - \sqrt{6 - 2a}\right)$. Если подходит любое $x$, то и $x = 1$: $\sqrt{7 + 2a} = 5 - \sqrt{6 - 2a}$, откуда $a = 1$ или $a = -\tfrac32$. Проверка: при $a = 1$ — тождество, при $a = -\tfrac32$ не подходит $x = 0$. Ответ $a = 1$.

Неравенство на отрезке. $\dfrac{x - a}{x - 8a} < 0$ при всех $x \in [2;\ 4]$. При $a > 0$ решения $(a;\ 8a)$, нужно $a < 2$ и $8a > 4$; при $a < 0$ решения отрицательны, при $a = 0$ их нет. Ответ $a \in (0{,}5;\ 2)$.

1. $y = 2^x$ принимает каждое положительное значение ровно один раз. Нужно: $f(y) = y^2 - 2ay - 3a^2 + 4a = 0$ имеет единственный положительный корень. $D = 16a(a - 1)$.
2. $D = 0$: $a = 0$ — корень $y = 0$, не положительный; $a = 1$ — корень $y = 1 > 0$, подходит. $D < 0$ — корней нет.
3. $D > 0$ и один корень нуль: $-3a^2 + 4a = 0$, $a = \tfrac43$ — корни $0$ и $\tfrac83$, подходит.
4. $D > 0$, корни ненулевые: ровно один положительный ⇔ $y_1y_2 = -3a^2 + 4a < 0$ (Виет): $a < 0$ или $a > \tfrac43$.

После замены $t = \cos x$, $t = 7^{|x|}$, $t = 2^x$ вопрос о корнях исходного уравнения становится вопросом, где лежат корни квадратного трёхчлена $f(t) = t^2 + pt + q$: на отрезке $[-1;\ 1]$, правее $1$, на луче $t > 0$.

Для параболы ветвями вверх: корни по разные стороны от $k$ ⇔ $f(k) < 0$. Оба корня больше $k$ ⇔ $D \ge 0$, вершина $t_0 > k$, $f(k) > 0$. Оба меньше $k$ ⇔ $D \ge 0$, $t_0 < k$, $f(k) > 0$.

Отдельно проверяем граничные случаи: $D = 0$ и $f(k) = 0$.

1. $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $4\cos^2 x - (3 + a)\cos x - 5\cos^2 x + 2{,}5 + 1{,}5 = 0$, то есть $\cos^2 x + (3 + a)\cos x - 4 = 0$.
2. $t = \cos x$: нужен хотя бы один корень $f(t) = t^2 + (3 + a)t - 4$ на $[-1;\ 1]$. Парабола ветвями вверх, $f(0) = -4 < 0$: на $[-1;\ 0)$ и $(0;\ 1]$ лежит не больше одного корня.
3. Корень на $[-1;\ 0)$ ⇔ $f(-1) = -6 - a \ge 0$, $a \le -6$. Корень на $(0;\ 1]$ ⇔ $f(1) = a \ge 0$.

1. $t = 7^{|x|} \ge 1$. Значение $t > 1$ даёт два корня $x = \pm\log_7 t$, значение $t = 1$ — один корень $x = 0$.
2. $f(t) = t^2 - \dfrac{5a}{a - 3}t + \dfrac{6a + 7}{a - 3}$. Ровно два корня $x$ ⇔ у $f$ ровно один корень больше $1$, а $t = 1$ не корень.
3. Один корень ($D = 0$): $\dfrac{a^2 + 44a + 84}{(a - 3)^2} = 0$, $a = -2$ (корень $t = 1$, не подходит) или $a = -42$ (корень $t = \tfrac73 > 1$, подходит).
4. Корни по разные стороны от $1$: $f(1) = \dfrac{2a + 4}{a - 3} < 0$, $-2 < a < 3$.

1. Симметрия. Замена $x \to -x$ переставляет модули: если $x_0$ — корень, то и $-x_0$. Единственный корень возможен только при $x_0 = -x_0$, то есть $x_0 = 0$.
2. $x = 0$: $(a - 3)^2 = 2|a - 3|$, $|a - 3|(|a - 3| - 2) = 0$ — необходимое условие: $a = 3$, $a = 1$ или $a = 5$.
3. Проверка. $a = 3$: $x^2 = 2|x|$ — корни $-2;\ 0;\ 2$, не подходит.
4. $a = 1$ и $a = 5$: $x^2 + 4 = |x - 2| + |x + 2|$. При $|x| \le 2$ правая часть $4$, корень $x = 0$; при $|x| > 2$ правая часть $2|x| < x^2 + 4$ — корней нет.

• Неравенства: случаи по знаку коэффициента, основания логарифма, дискриминанта.
• Необходимое условие (подставили удобное $x$, использовали симметрию) — затем обязательная проверка найденных $a$.
• Замена $t = 2^x$, $7^{|x|}$, $\cos x$: следим, какие $t$ допустимы и сколько $x$ даёт каждое $t$.
• Расположение корней: знак $f(k)$, дискриминант, вершина.