Уравнения и неравенства · 11 класс · урок 4 из 4 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 15, § 15

Системы с параметром

Выход к заданиям: ЕГЭ №19

Сначала нужно знать: Системы уравнений, графический и аналитический методы
Зачем этот урок: ЕГЭ №19: системы с параметром — подстановка, симметрия, окружности
Дальше: Задачи ЕГЭ №19 всех типов

Уравнения и неравенства с параметрами · урок 4

Подстановка, оценки, симметрия, окружности

Системы уравнений с параметром

$\begin{cases} ax + 2y = a + 2,\\ 2ax + (a + 1)y = 2a + 4.\end{cases}$ Из первого $y = \dfrac{a + 2 - ax}{2}$ ; подстановка во второе: $a(a - 3)x = (a + 2)(a - 3)$ .
$a = 0$ : $0\cdot x = -6$ — решений нет. $a = 3$ : $0\cdot x = 0$ — бесконечно много решений $\left(d;\ \dfrac{5 - 3d}{2}\right)$ , $d \in \mathbb{R}$ .
$a \ne 0$ , $a \ne 3$ : единственное решение $\left(\dfrac{a + 2}{a};\ 0\right)$ .

Решить систему с параметром — для каждого значения параметра найти множество всех решений системы (оно может быть пустым).

Никольский, п. 15.3Пример 1

Решите систему уравнений с параметром

a

\ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2,\\ x + y = 1.\end{cases}

$y = 1 - x$ : $2x^2 - 2x + 1 - a^2 = 0$ , $D = 8a^2 - 4$ .
$D < 0$ , то есть $|a| < \dfrac{\sqrt2}{2}$ : решений нет — окружность радиуса $|a|$ не достаёт до прямой.
$|a| = \dfrac{\sqrt2}{2}$ : одно решение $\left(\tfrac12;\ \tfrac12\right)$ — касание. $\ |a| > \dfrac{\sqrt2}{2}$ : $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{2a^2 - 1}}{2}$ , $y = 1 - x$ .

Ответ: нет решений при $|a| < \tfrac{\sqrt2}{2}$ ; $\left(\tfrac12;\ \tfrac12\right)$ при $|a| = \tfrac{\sqrt2}{2}$ ; $\left(\tfrac{1 \mp \sqrt{2a^2 - 1}}{2};\ \tfrac{1 \pm \sqrt{2a^2 - 1}}{2}\right)$ при $|a| > \tfrac{\sqrt2}{2}$

Оценки и следствия

$\begin{cases} \sin x\cos 2y = a^2 + 1,\\ \sin 2y\cos x = a.\end{cases}$ Левая часть первого уравнения $\le 1$ , правая $\ge 1$ — решения возможны только при $a = 0$ .
При $a = 0$ : $\sin x\cos 2y = 1$ , $\sin 2y\cos x = 0$ . Сложив и вычтя: $\sin(x + 2y) = 1$ , $\sin(x - 2y) = 1$ , откуда $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi(k + n)$ , $y = \dfrac{\pi}{2}(k - n)$ .
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} = x + y,\\ (2^x + 1)2^{y + 1} = a.\end{cases}$ Квадрат первого: $xy = 0$ — следствие. $x = 0$ : $2^{y + 2} = a$ ; $y = 0$ : $2^{x + 1} = a - 2$ .
Проверка условия $x + y \ge 0$ : $\log_2 a - 2 \ge 0$ и $\log_2(a - 2) - 1 \ge 0$ — оба при $a \ge 4$ . Ответ: нет решений при $a < 4$ ; $(0;\ 0)$ при $a = 4$ ; $(0;\ \log_2\tfrac a4)$ и $(\log_2\tfrac{a - 2}{2};\ 0)$ при $a > 4$ .

Симметрия

Если система не меняется при замене $x \leftrightarrow y$ или $x \to -x$ , то вместе с решением $(x_0;\ y_0)$ есть решение $(y_0;\ x_0)$ или $(-x_0;\ y_0)$ . Единственное решение возможно, только если они совпадают: $x_0 = y_0$ или $x_0 = 0$ .

Пример. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1,\\ x + y = a\end{cases}$ имеет единственное решение. По симметрии $x_0 = y_0$ , $2x_0^2 = 1$ : $a = \pm\sqrt2$ . Проверка: при $a = \pm\sqrt2$ прямая касается окружности — решение одно. Ответ $a = \pm\sqrt2$ .

Найденные из симметрии значения — только кандидаты; каждый проверяем решением системы.

ЕГЭ, задание 19Пример 2

При каких значениях параметра

a

система

\begin{cases} 3\cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a,\\ x^2 + y^2 = 1\end{cases}

имеет единственное решение?

Вместе с $(x_0;\ y_0)$ решением будет $(-x_0;\ y_0)$ , поэтому необходимо $x_0 = 0$ : $3a = 7 - 3y$ , $y^2 = 1$ — кандидаты $a = \tfrac43$ и $a = \tfrac{10}{3}$ .
$a = \tfrac43$ : $3\cdot 2^{|x|} + 5|x| = 5x^2 + 3y$ . Из $x^2 + y^2 = 1$ : $|x| \le 1$ , значит $5x^2 \le 5|x|$ , $3y \le 3 \le 3\cdot 2^{|x|}$ . Равенство только при $x = 0$ , $y = 1$ — решение единственно.
$a = \tfrac{10}{3}$ : $3\cdot 2^{|x|} + 5|x| - 6 = 5x^2 + 3y$ . Кроме $(0;\ -1)$ подходят $(1;\ 0)$ и $(-1;\ 0)$ : $6 + 5 - 6 = 5$ — три решения, значение не подходит.

Ответ: $a = \tfrac43$

ЕГЭ, задание 19Пример 3

Найдите все положительные значения

a

, при каждом из которых система

\begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4,\\ (x - 2)^2 + y^2 = a^2\end{cases}

имеет единственное решение.

Первое уравнение — две окружности $\omega_1$ , $\omega_2$ радиуса $2$ с центрами $C_1(5;\ 4)$ и $C_2(-5;\ 4)$ . Второе — окружность $\omega$ с центром $C(2;\ 0)$ радиуса $a$ .
$CC_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ : $\omega$ и $\omega_1$ касаются при $a = 3$ и $a = 7$ , две общие точки при $3 < a < 7$ .
$CC_2 = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}$ : касание при $a = \sqrt{65} - 2 \approx 6{,}06$ и $a = \sqrt{65} + 2$ , две точки между ними.
Единственное решение — касание одной окружности без пересечения с другой: $a = 3$ (до $\omega_2$ ещё далеко) и $a = \sqrt{65} + 2$ ( $\omega_1$ уже внутри). При $a = 7$ и $a = \sqrt{65} - 2$ точек больше.

Ответ: $a = 3$ ; $a = \sqrt{65} + 2$

ЕГЭ, задание 19Пример 4

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система

\begin{cases} a^2 + ax - 2x - 4a + 4 \le 0,\\ xa = -4\end{cases}

имеет хотя бы одно решение.

При $a = 0$ второе уравнение $0 = -4$ — решений нет. При $a \ne 0$ : $x = -\dfrac4a$ — подставим в неравенство.
$a^2 - 4 + \dfrac8a - 4a + 4 \le 0 \iff \dfrac{a^3 - 4a^2 + 8}{a} \le 0 \iff \dfrac{(a - 2)(a^2 - 2a - 4)}{a} \le 0$ .
Нули числителя $2$ , $1 \pm \sqrt5$ ; знаменателя $0$ . Метод интервалов: $a \in [1 - \sqrt5;\ 0) \cup [2;\ 1 + \sqrt5]$ .

Ответ: $a \in [1 - \sqrt5;\ 0) \cup [2;\ 1 + \sqrt5]$

Главное

Подстановкой система с параметром сводится к уравнению с параметром — дальше разбор случаев.
Оценки ( $|\sin| \le 1$ , $a^2 + 1 \ge 1$ ) сразу отсекают лишние значения параметра.
Симметрия даёт кандидатов на единственность; каждый проверяем.
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = a^2$ — окружность: число решений = число общих точек, касание при $a = d \pm r$ .

Системы с параметром

Все уроки станции «Уравнения и неравенства с параметрами»