Функции · 8 класс · урок 1 из 3 · Никольский, «Алгебра 8», § 7, п. 7.1–7.2

Функция y = ax²

Выход к заданиям: ОГЭ №11, ОГЭ №22, ЕГЭ №12, ЕГЭ №17, ЕГЭ №19

Сначала нужно знать: Функция y = x² и её свойства
Зачем этот урок: ОГЭ №11: по параболе определить знак и величину a
Дальше: Сдвиги графика: y = a(x − x₀)² + y₀

Квадратичная функция · урок 1

Функция y = ax²

Растяжение, сжатие и отражение параболы

Свойства y = ax² при a > 0

1) $y(0) = 0$ . 2) При $x \ne 0$ : $y > 0$ .
3) При $x \ge 0$ функция возрастает, при $x \le 0$ — убывает.
4) $y \to +\infty$ при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$ .
5) Чётная — график симметричен относительно оси $y$ .
6) Непрерывна на $(-\infty;\ +\infty)$ .

Свойства те же, что у

y = x^2

, и доказываются так же:

a > 0

не меняет знаков и направления неравенств.

Растяжение вдоль оси y

Точки $A(x_0;\ x_0^2)$ параболы $y = x^2$ и $A_1(x_0;\ 2x_0^2)$ параболы $y = 2x^2$ имеют одну абсциссу, а ординаты относятся как $2 : 1$ . Отрезок $A_0A_1$ получается растяжением отрезка $A_0A$ в $2$ раза.

Поэтому график $y = ax^2$ при $a > 1$ — растяжение параболы $y = x^2$ в $a$ раз вдоль оси $y$ , при $0 < a < 1$ — сжатие в $\dfrac1a$ раза. Он тоже называется параболой.

Семейство парабол

Чем больше $a$ , тем «уже» парабола; чем ближе $a$ к нулю, тем она «шире». Вершина у всех — начало координат.

Отрицательное a

Ординаты точек графиков $y = x^2$ и $y = -x^2$ с одной абсциссой $x_0 \ne 0$ равны по модулю и противоположны по знаку. Графики симметричны относительно оси $Ox$ .

Так же $y = ax^2$ и $y = -ax^2$ . При $a > 0$ парабола (кроме вершины) лежит выше оси $x$ — ветви вверх, при $a < 0$ — ниже — ветви вниз. При $a < 0$ функция возрастает на $(-\infty;\ 0]$ и убывает на $[0;\ +\infty)$ .

Никольский, № 442Пример 1

На рисунке изображены графики функций

y = ax^2

. Определите

a

, если параболы проходят через отмеченные точки: а)

(1;\ 2)

; б)

(4;\ 8)

; в)

(2;\ 8)

Точка лежит на графике: $y_0 = ax_0^2$ , откуда $a = \dfrac{y_0}{x_0^2}$ .
а) $a = \dfrac21 = 2$ . б) $a = \dfrac{8}{16} = \dfrac12$ . в) $a = \dfrac84 = 2$ .

Ответ: а) $2$ ; б) $\dfrac12$ ; в) $2$

Никольский, № 452, 453Пример 2

а) Точка

(t;\ -3)

принадлежит графику

y = -3x^2

. Найдите

t

. б) Прямая

y = 8

пересекает параболу

y = ax^2

в двух точках, расстояние между которыми равно

6

. Найдите

a

а) $-3 = -3t^2$ , $\ t^2 = 1$ , $\ t = \pm1$ .
б) Точки пересечения симметричны относительно оси $y$ : $(-3;\ 8)$ и $(3;\ 8)$ .
$8 = a \cdot 3^2$ , $\ a = \dfrac89$ .

Ответ: а) $\pm1$ ; б) $\dfrac89$

Главное

$y = ax^2$ ( $a \ne 0$ ) — парабола с вершиной $O(0;\ 0)$ и осью $x = 0$ .
$a > 0$ — ветви вверх, $a < 0$ — вниз; $y = ax^2$ и $y = -ax^2$ симметричны относительно $Ox$ .
$|a| > 1$ — растяжение параболы $y = x^2$ , $|a| < 1$ — сжатие.
$a$ по графику: $a = \dfrac{y_0}{x_0^2}$ для любой точки параболы, кроме вершины.

Функция y = ax²

Все уроки станции «Квадратичная функция»