Сдвиги графика: y = a(x − x₀)² + y₀

Если $A$ — точка графика $y = 2x^2$, а $B$ — точка графика $y = 2x^2 - 2$ с той же абсциссой, то $B$ на $2$ ниже $A$. График $y = 2x^2 - 2$ — парабола с вершиной $(0;\ -2)$.

Чтобы построить $y = ax^2 + y_0$, надо параболу $y = ax^2$ сдвинуть на $|y_0|$ единиц вверх, если $y_0 > 0$, и вниз, если $y_0 < 0$.

Если $A$ — точка графика $y = 2x^2$, а $B$ — точка графика $y = 2(x - 2)^2$ с той же ординатой, то абсцисса $B$ на $2$ больше. $y = 2x^2$ равна $0$ при $x = 0$, а $y = 2(x - 2)^2$ — при $x = 2$.

Чтобы построить $y = a(x - x_0)^2$, надо параболу $y = ax^2$ сдвинуть на $|x_0|$ единиц вправо, если $x_0 > 0$, и влево, если $x_0 < 0$. Вершина $(x_0;\ 0)$, ось — прямая $x = x_0$.

При $x = x_0$ функция принимает при $a > 0$ наименьшее, а при $a < 0$ наибольшее значение, равное $y_0$.

1. а) Параболу $y = x^2$ сдвигаем на $3$ вправо и на $2$ вниз: вершина $(3;\ -2)$, ветви вверх.
2. б) Параболу $y = -2x^2$ (ветви вниз, «уже» $y = -x^2$) сдвигаем на $1$ влево и на $3$ вниз: вершина $(-1;\ -3)$.

1. Вершина $(-3;\ 3)$, значит, $f(x) = a(x + 3)^2 + 3$. Точка $(0;\ 12)$: $\ 9a + 3 = 12$, $\ a = 1$.
2. $f(x) = (x + 3)^2 + 3 = x^2 + 6x + 12$.
3. $D = 6^2 - 4 \cdot 12 = -12$. Ветви вверх, вершина выше оси — корней нет, и $D < 0$, как и должно быть.