Функции · 8 класс · урок 3 из 3 · Никольский, «Алгебра 8», § 7, п. 7.4

Квадратичная функция и её график

Выход к заданиям: ОГЭ №11, ОГЭ №22, ЕГЭ №12, ЕГЭ №17, ЕГЭ №19

Сначала нужно знать: Сдвиги параболы, выделение полного квадрата, дискриминант
Зачем этот урок: ОГЭ №11, №22 и ЕГЭ №12: парабола y = ax² + bx + c — вершина, знаки, точки
Дальше: Дробно-линейная функция

Квадратичная функция · урок 3

Квадратичная функция

y = ax² + bx + c: теорема о вершине и построение параболы

Определение

Функцию $y = ax^2 + bx + c$ , где $a$ , $b$ , $c$ — данные числа и $a \ne 0$ , называют квадратичной функцией. Она определена при всех $x$ .

y = ax^2 + bx + c, \qquad a \ne 0

Теорема

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола с вершиной в точке $(x_0;\ y_0)$ , полученная параллельным переносом параболы $y = ax^2$ , где

x_0 = -\dfrac{b}{2a}, \qquad y_0 = -\dfrac{D}{4a}, \qquad D = b^2 - 4ac.

Доказательство

Выделим полный квадрат (п. 4.1):

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dfrac ba x\right) + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a} = a(x - x_0)^2 + y_0.

Значит, функции $y = ax^2 + bx + c$ и $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ при каждом $x$ принимают одно значение — у них один график.
А график $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ — парабола $y = ax^2$ , сдвинутая на $x_0$ по оси $x$ и на $y_0$ по оси $y$ : вершина попадает в $(x_0;\ y_0)$ . Теорема доказана.

Никольский, п. 7.4Пример 1

Постройте график функции

y = x^2 - 2x - 3

Выделяем полный квадрат: $x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x + 1 - 4 = (x - 1)^2 - 4$ . Вершина $(1;\ -4)$ .
Или по формулам: $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac22 = 1$ , $\ y_0 = 1 - 2 - 3 = -4$ .
Таблица симметричных точек: $x = -1, 0, 1, 2, 3$ даёт $y = 0, -3, -4, -3, 0$ .
Вершина ниже оси $x$ , ветви вверх — две точки пересечения: $x^2 - 2x - 3 = 0$ при $x = -1$ и $x = 3$ .

Ответ: парабола с вершиной $(1;\ -4)$

Никольский, п. 7.4Пример 2

Постройте параболы а)

y = 3x^2 + 12x + 15

; б)

y = -6x^2 - 12x - 8

. Есть ли у них общие точки с осью

x

а) $3\left(x^2 + 4x + 5\right) = 3\left((x + 2)^2 + 1\right) = 3(x + 2)^2 + 3$ : вершина $(-2;\ 3)$ , ветви вверх.
Вершина выше оси $x$ — общих точек нет. Проверка: $D = 144 - 180 = -36 < 0$ .
б) $x_0 = -\dfrac{-12}{2 \cdot (-6)} = -1$ , $\ y_0 = -6 + 12 - 8 = -2$ ; ветви вниз, вершина ниже оси — общих точек нет, и $-6x^2 - 12x - 8 < 0$ при всех $x$ .

Ответ: общих точек с осью x нет

Расположение параболы

	$D > 0$	$D = 0$	$D < 0$
$a > 0$	пересекает $Ox$ в двух точках	касается $Ox$ в вершине	целиком выше $Ox$
$a < 0$	пересекает $Ox$ в двух точках	касается $Ox$ в вершине	целиком ниже $Ox$

Вершина лежит на прямой $y = y_0$ ; остальные точки — выше неё при $a > 0$ («ветви вверх») и ниже при $a < 0$ .
Ось $y$ парабола пересекает в точке $(0;\ c)$ — подставим $x = 0$ .
Строим по вершине и нескольким точкам, симметричным относительно оси $x = x_0$ .

Монотонность: доказательство

Докажем, что $y = x^2 - 4x + 11$ возрастает на $[2;\ +\infty)$ . Пусть $2 \le x_1 < x_2$ . Тогда $y_1 - y_2 = x_1^2 - x_2^2 - 4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$ .

Здесь $x_1 - x_2 < 0$ , а $x_1 + x_2 > 4$ , то есть второй множитель положителен. Значит, $y_1 - y_2 < 0$ , $\ y_1 < y_2$ — функция возрастает.

На $(-\infty;\ 2]$ оба множителя отрицательны, $y_1 > y_2$ — убывает. А на $[-1;\ 4]$ она не монотонна: $-1 < 3$ , но $y(-1) = 16 > y(3) = 8$ .

Вывод: парабола с

a > 0

убывает до вершины и возрастает после неё; с

a < 0

— наоборот.

ОГЭ, задание 11Пример 3

На рисунке изображены графики функций вида

y = ax^2 + bx + c

. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов

a

c

. 1)

a < 0,\ c > 0

; 2)

a > 0,\ c > 0

; 3)

a > 0,\ c < 0

$a$ — по ветвям: вверх $a > 0$ , вниз $a < 0$ . $c$ — ордината точки пересечения с осью $y$ .
А) ветви вверх, ось $y$ пересекает ниже нуля — $a > 0,\ c < 0$ : 3.
Б) ветви вниз, ось $y$ выше нуля — 1. В) ветви вверх, выше нуля — 2.

Ответ: 312

ЕГЭ, задание 12Пример 4

На рисунке изображён график функции

f(x) = -2x^2 + bx + c

. Найдите

f(5)

По рисунку $f(2) = 5$ , $f(3) = 3$ : $\ -8 + 2b + c = 5$ , $\ -18 + 3b + c = 3$ .
Вычитаем: $b - 10 = -2$ , $\ b = 8$ ; $\ c = 13 - 16 = -3$ .
$f(5) = -50 + 40 - 3 = -13$ .

Ответ: $-13$

ОГЭ, задание 22Пример 5

Парабола проходит через точки

A(0;\ 4)

B(1;\ -1)

C(2;\ -4)

. Найдите координаты её вершины.

$y = ax^2 + bx + c$ . Точка $A$ : $c = 4$ . Точка $B$ : $a + b + 4 = -1$ . Точка $C$ : $4a + 2b + 4 = -4$ .
$a + b = -5$ , $\ 2a + b = -4$ , откуда $a = 1$ , $b = -6$ .
$x_0 = -\dfrac{-6}{2} = 3$ , $\ y_0 = 9 - 18 + 4 = -5$ .

Ответ: $(3;\ -5)$

ОГЭ, задание 22Пример 6

Постройте график функции

y = |x^2 + 4x - 5|

. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

$x^2 + 4x - 5 = (x + 2)^2 - 9$ : парабола $y = x^2$ , сдвинутая на $2$ влево и на $9$ вниз; корни $-5$ и $1$ .
Модуль: части графика на оси $x$ и выше оставляем, часть ниже оси отражаем относительно неё — вершина $(-2;\ -9)$ переходит в $(-2;\ 9)$ .
Горизонтальная прямая $y = m$ при $0 < m < 9$ пересекает график в четырёх точках; больше не бывает.

Ответ: 4

Главное

$y = ax^2 + bx + c$ — парабола с вершиной $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , $y_0 = f(x_0)$ ; доказательство — выделение полного квадрата.
$a$ — ветви (вверх/вниз), $c$ — точка $(0;\ c)$ на оси $y$ , $D$ — число общих точек с осью $x$ .
Строим: вершина, ось $x = x_0$ , пары симметричных точек.
$|f(x)|$ : часть графика ниже оси $x$ отражаем вверх.

Квадратичная функция и её график

Все уроки станции «Квадратичная функция»