Многоугольники

• Фигура из отрезков $AB, BC, CD, \ldots, FA$, где соседние отрезки не лежат на одной прямой, а несоседние не имеют общих точек, — многоугольник. Точки — вершины, отрезки — стороны, сумма длин сторон — периметр.
• Многоугольник с $n$ вершинами — $n$-угольник, у него $n$ сторон. Треугольник — частный случай.
• Вершины одной стороны — соседние. Отрезок, соединяющий несоседние вершины, — диагональ ($BE$ на рисунке).
• Многоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

На рисунке выше шестиугольник выпуклый, а пятиугольник справа — нет: прямая, проходящая через две соседние вершины, рассекает его.

Углы выпуклого многоугольника — углы $A_1A_2A_3, \ldots, A_{n-1}A_nA_1, A_nA_1A_2$ при его вершинах.

• У четырёхугольника четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.
• Несмежные стороны называются противоположными, несоседние вершины — тоже противоположными.
• Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Диагональ выпуклого делит его на два треугольника; у невыпуклого так делит одна из диагоналей.
• Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$: $(4 - 2) \cdot 180^\circ$.

1. а) $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$; $\ 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$; $\ 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$.
2. б) Все $n$ углов равны $\alpha$: $n\alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ$, откуда $n = \dfrac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$.
3. $\alpha = 90^\circ$: $n = 4$; $\ \alpha = 60^\circ$: $n = 3$; $\ \alpha = 120^\circ$: $n = 6$; $\ \alpha = 108^\circ$: $n = 5$.

1. а) $3\angle A = 360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$, $\angle A = \angle B = \angle C = 75^\circ$.
2. б) $x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$, $x = 30^\circ$: углы $30^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $150^\circ$.

1. Пусть первая сторона $x$: вторая $x - 8$, третья $x + 8$, четвёртая $3(x - 8)$.
2. $x + (x - 8) + (x + 8) + 3x - 24 = 66$, $\ 6x = 90$, $x = 15$.
3. Стороны $15$, $7$, $23$, $21$ см.

• Многоугольник: вершины, стороны, диагонали; выпуклый — лежит по одну сторону от прямой каждой стороны.
• Сумма углов выпуклого $n$-угольника $(n - 2) \cdot 180^\circ$.
• Сумма углов выпуклого четырёхугольника $360^\circ$.
• У правильного многоугольника все углы равны: $n = \dfrac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$.