Параллелограмм и трапеция

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$. Он выпуклый.

1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Диагональ $AC$ делит его на $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$; они равны по стороне и двум прилежащим углам: $AC$ общая, $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$ (накрест лежащие).

Отсюда $AB = CD$, $AD = BC$, $\angle B = \angle D$, а $\angle A = \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 = \angle C$.

Углы, прилежащие к одной стороне, — односторонние при параллельных: в сумме $180^\circ$.

$\triangle AOB = \triangle COD$ по стороне и двум прилежащим углам: $AB = CD$ (противоположные стороны), углы при $A$ и $C$, при $B$ и $D$ — накрест лежащие при $AB \parallel CD$.

Поэтому $AO = OC$ и $BO = OD$.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны (Атанасян, № 388).

Высоты $BH$ и $CK$ равны (расстояние между параллельными). $\triangle ABH = \triangle DCK$ по гипотенузе и катету, значит, $\angle A = \angle D$; тогда и $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle D = \angle C$.

$\triangle ABD = \triangle DCA$ по двум сторонам и углу между ними ($AB = DC$, $AD$ общая, $\angle A = \angle D$), поэтому $BD = AC$.

Верно и обратное: трапеция с равными углами при основании или с равными диагоналями — равнобедренная (№ 389).

Если прямые параллельны, отрезки $B_1B_2$, $B_2B_3$ — противоположные стороны параллелограммов, равные $A_1A_2 = A_2A_3$. Иначе через $B_1$ проводят прямую, параллельную первой, и сводят к доказанному (Атанасян, № 385).

Следствие (№ 384): прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам.

Деление отрезка на $n$ равных частей (№ 396): на луче $AX$ откладываем $n$ равных отрезков, конец последнего соединяем с $B$ и через остальные точки проводим параллельные — они делят $AB$ на $n$ равных частей.

1. $\angle BKA = \angle KAD$ — накрест лежащие при $BC \parallel AD$; $\angle KAD = \angle BAK$ — биссектриса. Значит, $\angle BKA = \angle BAK$, и $\triangle ABK$ равнобедренный: $AB = BK = 15$ см.
2. $BC = 15 + 9 = 24$ см.
3. $P = 2(15 + 24) = 78$ см.

1. $\angle A = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$ — угол при большем основании, острый.
2. Больший угол прилежит к той же боковой стороне: $\angle B = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.