Геометрия · 8 класс · урок 3 из 3 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. V, § 3

Прямоугольник, ромб, квадрат

Выход к заданиям: ОГЭ №17, ОГЭ №18, ОГЭ №19, ОГЭ №23, ОГЭ №24, ОГЭ №25, ЕГЭ №1, ЕГЭ №18

Сначала нужно знать: Параллелограмм и трапеция
Зачем этот урок: ОГЭ №17 и №19: диагонали прямоугольника равны, диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам
Дальше: Площадь многоугольника

Четырёхугольники · урок 3

Особые параллелограммы и симметрия

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. У него все свойства параллелограмма.

Особое свойство: диагонали прямоугольника равны. Прямоугольные $\triangle ACD$ и $\triangle DBA$ равны по двум катетам ( $CD = BA$ , $AD$ общий), поэтому $AC = BD$ .

Признак: если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник. $\triangle ABD = \triangle DCA$ по трём сторонам, откуда $\angle A = \angle D$ ; противоположные углы равны, все четыре равны и в сумме $360^\circ$ — по $90^\circ$ .

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Особое свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство. $AB = AD$ — $\triangle BAD$ равнобедренный. Диагонали делятся пополам, значит, $AO$ — медиана этого треугольника, а потому и высота, и биссектриса: $AC \perp BD$ и $\angle BAC = \angle DAC$ .

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат — и прямоугольник, и ромб, у него все их свойства.
Все углы квадрата прямые.
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам (на углы по $45^\circ$ ).
Ловушки ОГЭ №19: четырёхугольник с равными и перпендикулярными диагоналями — не обязательно квадрат (нужно ещё, чтобы они делились пополам, № 410); «диагонали ромба равны» — неверно.

Осевая и центральная симметрия

Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $a$ , если $a$ проходит через середину $AA_1$ и перпендикулярна к нему. Фигура симметрична относительно прямой — у неё есть ось симметрии.
Точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно точки $O$ , если $O$ — середина $BB_1$ . Фигура с такой точкой обладает центральной симметрией, $O$ — центр симметрии.
Центр симметрии есть у окружности (её центр), у параллелограмма (точка пересечения диагоналей), у прямой (любая её точка). У произвольного треугольника центра симметрии нет.

Сколько осей симметрии

Неразвёрнутый угол — одна ось (прямая биссектрисы). Равнобедренный треугольник — одна, равносторонний — три.
Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, — по две оси; квадрат — четыре; окружность — бесконечно много (любая прямая через центр).
У параллелограмма, отличного от прямоугольника и ромба, и у разностороннего треугольника осей симметрии нет.

Атанасян, № 403, 404Пример 1

а) В прямоугольнике

ABCD

диагонали пересекаются в точке

O

. Найдите периметр

\triangle AOB

, если

\angle CAD = 30^\circ

AC = 12

см. б) Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

а) $AO = BO = 6$ см (диагонали равны и делятся пополам). $\angle OAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ ; $\triangle AOB$ равнобедренный с углом $60^\circ$ — равносторонний, $AB = 6$ см. Периметр $18$ см.
б) Достроим прямоугольный $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) до прямоугольника $ACBD$ . Его диагонали $AB$ и $CD$ равны и делятся пополам в середине $M$ гипотенузы: $CM = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{AB}{2}$ .

Ответ: а) $18$ см; б) $CM = \dfrac{AB}{2}$

Атанасян, № 405, 406Пример 2

а) В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба. б) Найдите периметр ромба

ABCD

, если

\angle B = 60^\circ

AC = 10{,}5

см.

а) Диагональ и две стороны образуют равносторонний треугольник: угол ромба $60^\circ$ , соседний $120^\circ$ .
б) $\triangle ABC$ : $AB = BC$ , $\angle B = 60^\circ$ — равносторонний, сторона ромба $AB = AC = 10{,}5$ см.
$P = 4 \cdot 10{,}5 = 42$ см.

Ответ: а) $60^\circ$ и $120^\circ$ ; б) $42$ см

ОГЭ, задание 17Пример 3

Диагональ прямоугольника образует угол

51^\circ

с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Половинки диагоналей равны: треугольник, образованный ими и стороной, равнобедренный с углами при основании $51^\circ$ .
Угол между диагоналями $180^\circ - 2 \cdot 51^\circ = 78^\circ$ — он острый.

Ответ: 78

ОГЭ, задание 17Пример 4

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол

35^\circ

. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Диагонали ромба перпендикулярны: $\angle AOB = 90^\circ$ . Перпендикуляр $OH$ делит его на углы $35^\circ$ и $55^\circ$ .
В прямоугольном $\triangle OHB$ : $\angle OBH = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ ; в $\triangle OHA$ : $\angle OAH = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$ .
Диагонали делят углы ромба пополам: углы ромба $110^\circ$ и $70^\circ$ . Острый — $70^\circ$ .

Ответ: 70

Главное

Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами; диагонали равны (и это признак).
Ромб — параллелограмм с равными сторонами; диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Квадрат — прямоугольник и ромб сразу; диагонали равны, перпендикулярны, делят углы по $45^\circ$ .
Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.

Прямоугольник, ромб, квадрат

Все уроки станции «Четырёхугольники»