Натуральные числа: степени, простые числа, разложение

Числа $1, 2, 3, 4, \ldots$ называют натуральными, или целыми положительными. Нуль натуральным числом не считают.

Сумма и произведение натуральных чисел — всегда натуральные числа. Разность натуральна только тогда, когда уменьшаемое больше вычитаемого: $8 - 5 = 3$, а $5 - 8$ и $5 - 5$ натуральными не являются.

Частное тоже не всегда натурально. Если $m : n$ — натуральное число, говорят, что $m$ делится на $n$ (нацело), а $n$ называют делителем $m$: $6$ делится на $3$, $\ 7$ на $3$ не делится.

Произведение четырёх множителей, каждый из которых равен $5$, называют четвёртой степенью числа $5$: $\ 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

В записи $p^k$ число $p$ — основание степени, число $k$ — показатель степени. Первая степень числа — само число: $5^1 = 5$.

Вторую степень называют квадратом, третью — кубом: $5^2$ — «пять в квадрате», $2^3$ — «два в кубе».

Распишем: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2)(3 \cdot 3 \cdot 3) = (2 \cdot 3)(2 \cdot 3)(2 \cdot 3) = (2 \cdot 3)^3$. Множители можно переставлять и группировать парами — получилось $n$ одинаковых скобок.

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований.

Это свойство часто читают справа налево: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$ и, наоборот, $2^6 \cdot 5^6 = 10^6$ — удобно для степеней числа $10$.

$3^2 \cdot 3^4 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^6 = 3^{2 + 4}$: всего множителей $3$ стало $2 + 4$.

Произведение степеней с одним и тем же основанием есть степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей.

Частный случай: $5 \cdot 5^3 = 5^1 \cdot 5^3 = 5^4$ — у числа без показателя показатель $1$.

$(7^3)^2 = 7^3 \cdot 7^3 = (7 \cdot 7 \cdot 7)(7 \cdot 7 \cdot 7) = 7^6 = 7^{3 \cdot 2}$: $n$ раз по $m$ множителей.

Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей.

Не путать со свойством 2: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ (показатели складываем), а $(2^3)^4 = 2^{12}$ (показатели умножаем).

1. а) Показатели одинаковые — перемножаем основания: $(7 \cdot 3)^{10}$. Верно.
2. б) $2^7 \cdot 5^7 = (2 \cdot 5)^7 = 10^7$, а не $10^{14}$. Неверно: показатели при этом не складываются.
3. в) Основания одинаковые — показатели складываются: $2^{3 + 5} = 2^8 \ne 2^{15}$. Неверно.
4. г) $3^9 \cdot 3^1 = 3^{10}$. Верно.

1. Приведём всё к одному основанию: $16 = 4^2$.
2. $\dfrac{4^5}{4^2} = \dfrac{4^2 \cdot 4^3}{4^2} = 4^3$ — по свойству 2 сократили общий множитель $4^2$.
3. $4^3 = 64$.

1. Разложим основание числителя: $24 = 3 \cdot 8$, поэтому $24^4 = 3^4 \cdot 8^4$ (свойство 1).
2. $\dfrac{3^4 \cdot 8^4}{3^2 \cdot 8^3} = 3^2 \cdot 8 = 9 \cdot 8$ — сократили $3^2$ и $8^3$.
3. $9 \cdot 8 = 72$.

Простым числом называют натуральное число, которое больше $1$ и делится только на $1$ и на себя. Первые простые числа: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$.

Натуральные числа, большие $1$ и не являющиеся простыми, называют составными: у них есть ещё хотя бы один делитель, кроме $1$ и самого числа. Составные числа меньше $25$: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24$.

Единица — ни простое, ни составное число. Все натуральные числа делятся на три группы: простые, составные и число $1$.

Теорема. Каждое отличное от единицы натуральное число имеет делитель — простое число.

Доказательство. Пусть $n > 1$. Если $n$ простое, то оно само — его простой делитель.

Если $n$ составное, возьмём его наименьший делитель $d$, отличный от $1$. Предположим, что $d$ составное. Тогда у $d$ есть делитель $d_1$, меньший $d$ и отличный от $1$; по свойству делимости $d_1$ — тоже делитель $n$. Это противоречит тому, что $d$ — наименьший.

Значит, $d$ — простое число. Теорема доказана. Такой способ рассуждения называют доказательством от противного.

Теорема. Простых чисел бесконечно много: наибольшего простого числа не существует (Евклид, III в. до н. э.).

Доказательство. Допустим, что простых чисел конечное число и $p$ — наибольшее из них. Выпишем все: $2, 3, 5, 7, \ldots, p$.

Составим число $n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot p + 1$. По теореме 1 у $n$ есть простой делитель, то есть $n$ делится хотя бы на одно из чисел $2, 3, 5, \ldots, p$.

Но при делении $n$ на любое из них получается остаток $1$. Противоречие: значит, предположение неверно, и наибольшего простого числа нет.

1. а) Любое чётное число больше $2$ делится на $1$, на себя и ещё на $2$ — значит, оно составное. Остаётся одно чётное простое — $2$.
2. б) $p = 3$ подходит: $3, 5, 7$ — простые. Покажем, что других нет. При делении на $3$ число $p$ даёт остаток $0$, $1$ или $2$.
3. Остаток $0$: $p$ делится на $3$, простое — только $p = 3$. Остаток $1$: тогда $p + 2$ делится на $3$ и больше $3$ — составное. Остаток $2$: тогда $p + 4$ делится на $3$ — составное.
4. Значит, из трёх чисел $p$, $p + 2$, $p + 4$ одно всегда делится на $3$, и все три простые только при $p = 3$.

Дальше понадобятся числа, у которых нет других простых делителей, кроме $2$ и $5$. Это степени двойки: $2, 4, 8, 16, 32, \ldots$; степени пятёрки: $5, 25, 125, 625, \ldots$; их произведения: $2^2 \cdot 5^2 = 100$, $\ 2^3 \cdot 5^2 = 200$, $\ 2^4 \cdot 5 = 80$; и число $1$ — у него простых делителей нет вовсе.

Именно такие знаменатели дают конечные десятичные дроби: $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$, а $\dfrac13$ конечной десятичной дробью не записать. Об этом — на следующем уроке.

1. $144 = 12 \cdot 12 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$.
2. $210 = 2 \cdot 105 = 2 \cdot 3 \cdot 35 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.
3. $800 = 8 \cdot 100 = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 5^2$.
4. $1728 = 12^3 = (2^2 \cdot 3)^3 = 2^6 \cdot 3^3$; $\ 1575 = 25 \cdot 63 = 5^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

1. Ищем простые $p > q$ с $p^2 - q^2 = 48$. Перебираем квадраты простых: $4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, \ldots$
2. $169 - 121 = 48$: $\ 48 = 13^2 - 11^2$.
3. Для $96$: $121 - 25 = 96$, то есть $96 = 11^2 - 5^2$ (подходит и $25^2 - 23^2$, но $25$ не простое).

• $p^n q^n = (pq)^n$; $\ p^m p^n = p^{m+n}$; $\ (p^m)^n = p^{mn}$; $\ p^1 = p$.
• Простое число больше $1$ и делится только на $1$ и на себя; $1$ — ни простое, ни составное.
• У каждого числа $n > 1$ есть простой делитель; простых чисел бесконечно много.
• Разложение на простые множители существует и единственно; в №8 ОГЭ основания раскладываем, чтобы сократить.