Длина отрезка. Координатная ось

Возьмём единицу длины, например $1$ дм. Если на отрезке $AB$ укладывается ровно $2$ дм, то $AB = 2$ дм.

Если $2$ дм укладываются с остатком, меньшим $1$ дм, то $AB \approx 2$ дм с точностью до $1$ дм с недостатком. Измеряем остаток десятыми долями: в нём $1$ см и ещё остаток — $AB \approx 2{,}1$ дм с точностью до $0{,}1$; дальше миллиметрами: $AB \approx 2{,}14$ дм с точностью до $0{,}01$.

Если на каждом шаге — единицей, десятыми, сотыми, тысячными долями — остаётся остаток, процесс не заканчивается. Тогда конечной дробью длину можно выразить только приближённо, а точно длина выражается бесконечной десятичной дробью.

$\alpha_0$ — приближённая длина с точностью до $1$ с недостатком, $\alpha_0{,}\alpha_1$ — с точностью до $0{,}1$, $\alpha_0{,}\alpha_1\alpha_2$ — до $0{,}01$ и т. д.

Например, $AB = 3{,}(07) = 3\dfrac{7}{99}$: в отрезке укладываются $3$ единицы и ещё $\dfrac{7}{99}$ единицы; $3$; $\ 3{,}0$; $\ 3{,}07$; $\ 3{,}070$ — приближения с недостатком.

Возьмём прямую, выберем на ней положительное направление, начальную точку $O$ и единичный отрезок. Такую прямую называют координатной осью.

Точка $O$ делит ось на два луча — положительную и отрицательную полуоси.

Каждой точке поставим в соответствие число $x$: точке $O$ — нуль; точке $A$ положительного луча — длину $OA$; точке $B$ отрицательного луча — длину $OB$ со знаком минус. Это число — координата точки; ось называют осью $Ox$.

• 1. Каждой точке оси $Ox$ соответствует действительное число — её координата.
• 2. Разные точки имеют разные координаты.
• 3. Каждое действительное число — координата некоторой точки.
• Точку с координатой $x$ коротко называют точкой $x$: на рисунке $A$ — точка $2$, $B$ — точка $-2$. Модуль $|x|$ — расстояние от точки $x$ до начала координат: $OA = |2| = 2$, $\ OB = |-2| = 2$.

В младших классах на оси отмечали только рациональные точки — с координатами-дробями. Такая прямая была «дырявой»: точке, отстоящей от $O$ на длину диагонали единичного квадрата, не находилось числа.

Теперь координата любой точки — действительное число, рациональное или иррациональное. Каждой точке оси соответствует число, и каждому числу — точка.

Поэтому сравнивать действительные числа можно и на оси: из двух чисел больше то, чья точка лежит правее (при положительном направлении вправо).

1. а) $a = 2{,}41515\ldots$ Обрываем дробь на нужном разряде: $2$; $\ 2{,}4$; $\ 2{,}41$; $\ 2{,}415$.
2. б) Да. Длина любого отрезка при выбранной единице — действительное число. Диагональ — отрезок, значит, её длина — действительное число (оно иррациональное, $\sqrt2 = 1{,}414\ldots$ см).

1. Упорядочим числа: $-0{,}267 < -0{,}112 < 0{,}041 < 0{,}271$ (из двух отрицательных меньше то, у которого больше модуль).
2. Чем больше число, тем правее его точка. $0{,}271$ — наибольшее, ему соответствует самая правая точка — $D$.

1. Выделим целую часть: $131 = 12 \cdot 10 + 11$, поэтому $\dfrac{131}{12} = 10\dfrac{11}{12}$.
2. $0 < \dfrac{11}{12} < 1$, значит, $10 < \dfrac{131}{12} < 11$: точка лежит между точками $10$ и $11$.

• Длина отрезка — бесконечная десятичная дробь; её обрывы — приближения с недостатком.
• Длина любого отрезка — действительное число, и любое положительное число — длина некоторого отрезка.
• Координатная ось: начальная точка, направление, единичный отрезок; точки и действительные числа соответствуют взаимно однозначно.
• $|x|$ — расстояние от точки $x$ до начала; правее — значит больше.