Иррациональные и действительные числа

Бывают и непериодические бесконечные десятичные дроби. В дроби выше после запятой идут группы единиц — по одной, по две, по три, … — разделённые одним нулём.

Периода у неё нет. Если бы период был, он содержал бы хотя бы один нуль; но какой бы длины ни был период, дальше найдётся группа единиц длиннее, без нуля.

Значит, это не разложение рационального числа. Любую бесконечную непериодическую десятичную дробь называют иррациональным (нерациональным) числом. Примеры: $0{,}01001000100001\ldots$, $\ 17{,}123456789101112\ldots$, $\ -0{,}1011011\ldots$

Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными. Любое действительное число — бесконечная десятичная дробь: периодическая, если число рациональное, и непериодическая, если иррациональное.

Число до запятой называют целой частью дроби, первую цифру после запятой — цифрой первого разряда, вторую — второго и т. д. В общем виде: $a = \alpha_0{,}\alpha_1\alpha_2\alpha_3\ldots$

Числа $a$ и $-a$ называют противоположными. Если $a$ положительно, то $-a$ отрицательно, и наоборот; если $a = 0$, то и $-a = 0$.

Абсолютной величиной (модулем) числа $a$ называют само $a$, если $a$ положительно; нуль, если $a = 0$; число $-a$, если $a$ отрицательно.

$|0{,}1011011\ldots| = 0{,}1011011\ldots$, $\ |-2{,}1234567\ldots| = 2{,}1234567\ldots$, $\ |0{,}(0)| = 0$.

Запись $-a$ не означает «отрицательное число»: при $a = -5$ число $-a = 5$ положительно.

• Правило 1. Две бесконечные десятичные дроби (без периода $9$) равны, если у них одинаковые знаки, целые части и цифры всех разрядов. Исключение — нуль: $0 = +0{,}000\ldots = -0{,}000\ldots$
• Правило 2. Отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного; нуль меньше любого положительного.
• Правило 3. Из двух положительных больше то, у которого больше целая часть; если целые части равны — находим первый разряд, где цифры различаются: больше та дробь, у которой цифра этого разряда больше.
• Из двух отрицательных больше та, у которой модуль меньше.

1. Модули: $3{,}1 = 3{,}1000\ldots$ и $3{,}(1) = 3{,}1111\ldots$
2. Целые части и первый разряд совпадают, во втором разряде $0 < 1$. Значит, $3{,}1 < 3{,}(1)$.
3. Числа отрицательные: больше то, у которого модуль меньше. $-3{,}1 > -3{,}(1)$.

1. а) $0{,}1111\ldots$ и $0{,}2222\ldots$: в первом разряде $1 < 2$, значит, $0{,}1(1) < 0{,}(2)$.
2. б) $0{,}4545\ldots$ и $0{,}4444\ldots$: различие во втором разряде, $5 > 4$: $\ 0{,}(45) > 0{,}(4)$.
3. в) Отрицательные: $|-2{,}(7)| > |-0{,}142536|$, поэтому $-2{,}(7)$ меньше. Положительные: $0{,}125 = 0{,}125000\ldots$ и $0{,}1(25) = 0{,}12525\ldots$ — различие в четвёртом разряде, $0 < 2$.
4. Порядок: $-2{,}(7) < -0{,}142536 < 0{,}125 < 0{,}1(25)$.

• 1. Для любых $a$ и $b$ верно ровно одно из соотношений: $a = b$, $\ a < b$, $\ a > b$.
• 2. Если $a < b$, то найдётся $c$ такое, что $a < c < b$: между двумя числами всегда есть третье.
• 3. Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$ (транзитивность).
• 4. Если $a < b$, то $a + c < b + c$ при любом $c$.
• 5. Если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$. При $c < 0$ знак меняется: из $2 < 3$ следует $-2 > -3$.

• $a + b = b + a$, $\ (a + b) + c = a + (b + c)$ — переместительный и сочетательный законы сложения.
• $ab = ba$, $\ (ab)c = a(bc)$ — те же законы для умножения; $\ a(b + c) = ab + ac$ — распределительный закон.
• $a + 0 = a$, $\ a + (-a) = 0$, $\ a - b = a + (-b)$; $\ a \cdot 1 = a$, $\ a \cdot 0 = 0$, $\ -a = (-1) \cdot a$.
• $a \cdot \dfrac1a = 1$ при $a \ne 0$ ($a$ и $\dfrac1a$ — взаимно обратные); $\ \dfrac ab = a \cdot \dfrac1b$ при $b \ne 0$. Делить на нуль нельзя.
• Свойства степеней верны для любых действительных $a$, $b$: $a^m a^n = a^{m+n}$, $\ (ab)^n = a^n b^n$, $\ (a^m)^n = a^{mn}$.

1. По рисунку $-5 < a < -4$. Каждое утверждение переводим в сравнение $a$ с числом — прибавляем к обеим частям одно и то же (свойство 4).
2. 1) $a + 4 > 0 \Leftrightarrow a > -4$ — неверно. 2) $a + 5 < 0 \Leftrightarrow a < -5$ — неверно.
3. 3) $2 - a > 0 \Leftrightarrow a < 2$ — верно: $a$ отрицательно. 4) $3 - a < 0 \Leftrightarrow a > 3$ — неверно.

Пишут $a \approx a_1$, если $a_1$ мало отличается от $a$: $a_1$ — приближение числа $a$. Если $a_1 < a$ — приближение с недостатком (снизу), если $a_1 > a$ — с избытком (сверху).

Оборвём $a = 2{,}3(28)$ на втором разряде: $2{,}32$ — приближение с точностью до $0{,}01$ снизу; увеличим последнюю цифру на $1$: $2{,}33$ — сверху.

Третья цифра $8 \ge 5$, поэтому $2{,}33$ — ещё и приближение с округлением. Для $b = -2{,}3(28)$: $\ -2{,}33 < b < -2{,}32$.

Значащая цифра десятичной дроби — первая слева отличная от нуля цифра и все следующие за ней. В $285\,000$ все цифры значащие; в $0{,}003004$ значащие начиная с $3$.

Округлить до третьей значащей цифры — округлить до разряда, где стоит третья значащая цифра, заменив следующие нулями:

$3{,}7523 \approx 3{,}75$; $\ 0{,}012345 \approx 0{,}0123$; $\ 0{,}035021 \approx 0{,}0350$ (нуль в конце значащий — его не отбрасывают); $\ 236\,678 \approx 237\,000 = 2{,}37 \cdot 10^5$.

• Сумма и разность: округляем числа с одинаковой точностью (например, до $0{,}01$) и складываем приближения.
• Произведение и частное: округляем числа до одной и той же значащей цифры (например, третьей), перемножаем или делим и результат округляем до той же значащей цифры.
• Точность спорит с простотой: больше цифр — точнее, но дольше. $a = 1{,}445$: $\ 1^2 = 1$ (ошибка около $52\%$), $\ 1{,}4^2 \approx 2{,}0$ (около $4\%$), $\ 1{,}45^2 \approx 2{,}10$ (меньше $0{,}6\%$), а точно $a^2 = 2{,}088025$.

1. а) $a \approx 23{,}18$, $\ b \approx -4{,}24$. $\ a + b \approx 18{,}94$; $\ a - b \approx 23{,}18 + 4{,}24 = 27{,}42$.
2. б) $c \approx 136$, $\ d \approx 0{,}00688$.
3. $c \cdot d \approx 136 \cdot 0{,}00688 = 0{,}93568 \approx 0{,}936$.
4. $\dfrac cd \approx \dfrac{136}{0{,}00688} = \dfrac{13\,600\,000}{688} = 19\,767{,}4\ldots \approx 19\,800$.

1. а) $3{,}2 = 3{,}2000\ldots$, $\ 3{,}(2) = 3{,}2222\ldots$ Подойдёт, например, $3{,}21$: $3{,}2 < 3{,}21 < 3{,}2222\ldots$
2. б) Значащие цифры: $1, 0, 3, 9, 9, 3, 0, 1$. До пятой (десятые): $1039{,}9|3 \to 1039{,}9$.
3. До четвёртой (единицы): $1039|{,}9 \to 1040$ — девятка округлилась вверх, и это потянуло разряд десятков. До третьей (десятки): $103|9{,}9 \to 1040$.

• Иррациональное число — бесконечная непериодическая дробь; рациональные и иррациональные вместе — действительные.
• Сравниваем по первому различающемуся разряду; из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.
• К обеим частям неравенства можно прибавить любое число; умножение на отрицательное меняет знак.
• Сумма — с одинаковой точностью; произведение — с одинаковым числом значащих цифр.