Рациональные числа и периодические дроби

Положительным рациональным числом называют число, которое можно записать в виде $\dfrac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные. Его называют также дробью: $p$ — числитель, $q$ — знаменатель. Любое натуральное $p = \dfrac{p}{1}$.

Равенство в рамке — основное свойство дроби: обе его части — разные записи одного и того же числа: $\dfrac35 = \dfrac{6}{10}$.

Если у $p$ и $q$ нет общих простых делителей, дробь $\dfrac{p}{q}$ несократимая: $\dfrac{2}{3}$ — несократимая, $\dfrac{6}{8}$ — сократимая.

Если знаменатель — степень числа $10$, дробь записывают конечной десятичной дробью: $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$, $\ \dfrac{7}{100} = 0{,}07$, $\ \dfrac{12\,437}{1000} = 12{,}437$. Это десятичное разложение обыкновенной дроби.

Верно и обратное: любую конечную десятичную дробь можно записать обыкновенной со знаменателем — степенью $10$: $\ 1{,}05 = \dfrac{105}{10^2}$.

Сократим такие дроби: $0{,}375 = \dfrac{375}{1000} = \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3}$, $\ 0{,}065 = \dfrac{13}{200} = \dfrac{13}{2^3 \cdot 5^2}$. В знаменателе после сокращения остаются только двойки и пятёрки.

Теорема. Несократимая дробь $\dfrac{p}{q}$ разлагается в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда у $q$ нет простых делителей, кроме $2$ и $5$.

Если такое $q$ дано, домножим числитель и знаменатель на недостающие двойки или пятёрки, чтобы получилась степень $10$: $\dfrac45 = \dfrac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$; $\ \dfrac{3}{40} = \dfrac{3 \cdot 25}{2^3 \cdot 5 \cdot 25} = \dfrac{75}{1000} = 0{,}075$.

Второй способ — деление уголком числителя на знаменатель. Оба способа дают одну и ту же дробь.

Если же у $q$ есть простой делитель, отличный от $2$ и $5$ (например, $3$, $7$, $11$), — конечной десятичной дроби не получится.

1. Сначала сокращаем, потом смотрим на простые делители знаменателя.
2. $\dfrac{7}{40}$: $40 = 2^3 \cdot 5$ — да, $0{,}175$. $\ \dfrac{5}{12}$: $12 = 2^2 \cdot 3$, есть $3$ — нет.
3. $\dfrac{21}{60} = \dfrac{7}{20}$, $20 = 2^2 \cdot 5$ — да, $0{,}35$ (тройка сократилась!). $\ \dfrac{3}{128}$: $128 = 2^7$ — да.
4. $\dfrac{11}{30}$: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, есть $3$ — нет.

Делим $p$ на $q$ уголком. Когда все цифры делимого снесены, дальше к каждому остатку приписываем нуль. Если $q$ имеет простой делитель, отличный от $2$ и $5$, деление не кончится: все остатки положительны.

Но каждый остаток меньше $q$, то есть равен одному из чисел $1, 2, \ldots, q - 1$. Среди любых $q$ остатков подряд обязательно найдутся два равных.

Как только остаток повторился, повторяются и все следующие шаги — цифры частного идут по кругу. Пример: $\dfrac{1372}{65} = 21{,}1(076923)$: после цифры $1$ остаток $5$, и через шесть шагов он появляется снова.

Верно и обратное: любая периодическая дробь — десятичное разложение некоторого рационального числа. Число находят так.

Обозначим дробь через $x$ и умножим на такую степень $10$, чтобы запятая сдвинулась ровно на период: у $10x$ и $x$ «хвосты» после запятой одинаковые. При вычитании хвост исчезает.

Если период начинается не сразу, сначала сдвигаем запятую за предпериод: $x = 2{,}35(7)$, $\ 100x = 235{,}(7)$, $\ 1000x = 2357{,}(7)$; $\ 900x = 2357 - 235 = 2122$, $\ x = \dfrac{2122}{900} = \dfrac{1061}{450}$.

1. а) $x = 0{,}(18)$, $\ 100x = 18{,}(18)$, $\ 99x = 18$, $\ x = \dfrac{18}{99} = \dfrac{2}{11}$.
2. б) $10x = 1{,}(2)$, $\ 100x = 12{,}(2)$; $\ 90x = 12 - 1 = 11$, $\ x = \dfrac{11}{90}$.
3. в) $10\,000x = 108{,}(0108)$, $\ 9999x = 108$, $\ x = \dfrac{108}{9999} = \dfrac{12}{1111}$.
4. г) $10x = 10{,}(12)$, $\ 1000x = 1012{,}(12)$; $\ 990x = 1002$, $\ x = \dfrac{1002}{990} = \dfrac{167}{165}$.

Тот же приём для $x = 2{,}3(9)$: $\ 100x = 239{,}(9)$, $\ 10x = 23{,}(9)$, $\ 90x = 216$, $\ x = \dfrac{216}{90} = 2{,}4$.

Значит, $2{,}3(9)$ и $2{,}4$ — одно и то же число. Так же $7{,}25 = 7{,}24(9)$, $\ 0{,}031 = 0{,}030(9)$.

При делении уголком период $9$ получиться не может, поэтому дроби с периодом $9$ обычно не рассматривают: их заменяют конечными.

Натуральные числа, противоположные им отрицательные и нуль образуют множество целых чисел. Положительные дроби, отрицательные дроби и нуль — множество рациональных чисел.

Минус перед отрицательной дробью можно записать в числитель или в знаменатель: $-\dfrac73 = \dfrac{-7}{3} = \dfrac{7}{-3}$. Делить на нуль нельзя, поэтому $q \ne 0$.

Поставив минус перед периодической дробью, получим отрицательную: $-\dfrac{237}{99\,900} = -0{,}00(237)$; $\ 0 = 0{,}(0)$.

1. а) Период из $2$ цифр: на нечётных местах $2$, на чётных $5$. Место $100$ чётное — цифра $5$.
2. б) Период из $3$ цифр: $100 = 3 \cdot 33 + 1$ — после $33$ полных периодов идёт первая цифра периода, $1$.
3. в) Первая цифра после запятой $2$ — не из периода. Дальше с места $2$ идут $5, 1, 5, 1, \ldots$: на чётных местах $5$. Место $100$ чётное — $5$.

1. $11$ — простой делитель, отличный от $2$ и $5$: дробь будет периодической. Делим уголком: остатки $7 \to 4 \to 7 \to \ldots$
2. $\dfrac{7}{11} = 0{,}6363\ldots = 0{,}(63)$.
3. $0{,}6 < 0{,}(63) < 0{,}7$ — промежуток номер 3.

1. Переводим в десятичные: $\dfrac58 = 0{,}625$ (знаменатель $2^3$ — дробь конечная).
2. $\dfrac{10}{17} = 0{,}588\ldots$ — хватит двух-трёх цифр уголком, весь период не нужен.
3. $0{,}588\ldots < 0{,}6 < 0{,}625$ — подходит $0{,}6$.

• Несократимая $\dfrac pq$ — конечная десятичная дробь, только если $q = 2^a \cdot 5^b$; иначе — периодическая.
• Период появляется, потому что остатков меньше $q$, и какой-то из них повторится.
• Периодическая → обыкновенная: $x$, умножить на $10^k$, вычесть, чтобы хвост исчез.
• Рациональные числа $\dfrac pq$ ($q \ne 0$) — ровно периодические дроби; период $9$ заменяют конечной дробью.