Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие по некоторому закону число $x_n$, то говорят, что задана числовая последовательность $\{x_n\}$.

Числа $x_1, x_2, \ldots$ называют членами последовательности, член с номером $n$ — её $n$-м или общим членом.

Задать последовательность — указать закон, по которому можно вычислить её $n$-й член для любого натурального $n$. По сути, последовательность — это функция натурального аргумента.

• Формулой общего члена: $x_n = n^2$ даёт $1, 4, 9, 16, \ldots$; $\ x_4 = 16$, $x_{12} = 144$, $x_{17} = 289$.
• Первыми членами, если закономерность очевидна: $2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ — это $a_n = 2n$.
• Рекуррентно: задают первый член (или несколько) и формулу, выражающую член через предыдущие. $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 2$ — те же чётные числа.
• Словами: последовательность простых чисел $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$

1. а) Знаменатель равен номеру, знаки чередуются, начиная с минуса: $x_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.
2. б) $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac14$, $x_3 = \dfrac{1}{27}$, $x_4 = \dfrac{1}{256}$.

• Ограниченная сверху: найдётся $B$, что $x_n \le B$ для всех $n$. Например, $c_n = \dfrac1n \le 1$.
• Ограниченная снизу: найдётся $A$, что $x_n \ge A$. Числа Фибоначчи $u_n \ge 1$.
• Ограниченная — и сверху, и снизу: $0 < \dfrac1n \le 1$.

1. а) $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_5 = 14$, $a_{100} = 299$.
2. б) $c_1 = -2$, $c_2 = 4$, $c_3 = -8$, $c_{10} = (-2)^{10} = 1024$.

1. Проверим $n = 1$: в первом ряду $30$ мест. Подходит только $28 + 2 \cdot 1 = 30$.
2. Проверка $n = 2$: $28 + 4 = 32$ — на два места больше, всё сходится.

• Последовательность — каждому натуральному $n$ сопоставлено число $x_n$.
• Задают формулой $n$-го члена, первыми членами или рекуррентно.
• Монотонные: возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие.
• Формулу общего члена проверяем подстановкой $n = 1, 2$.