Функции · 9 класс · урок 5 из 5 · Никольский, «Алгебра 9», гл. 3, п. 8.2–8.3

Сумма геометрической прогрессии. Бесконечно убывающая

Выход к заданиям: ОГЭ №14, ЕГЭ №11, ЕГЭ №13, ЕГЭ №20

Сначала нужно знать: Геометрическая прогрессия
Зачем этот урок: ОГЭ №14 и основа для задач на проценты в ЕГЭ: сумма n членов и сумма бесконечной прогрессии
Дальше: Последовательности в 10–11 классе

Последовательности и прогрессии · урок 5

Сумма геометрической прогрессии

Формула Sₙ, бесконечно убывающая прогрессия, периодические дроби

Формула суммы

Вывод при $q \ne 1$ . $S_n(1 - q) = S_n - S_n q = (a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}) - (a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1} + a_1 q^n) = a_1 - a_1 q^n$ .

Все средние слагаемые сокращаются. Так как $q \ne 1$ , делим на $1 - q$ и получаем формулу.

При $q > 1$ удобнее запись $S_n = \dfrac{a_1\left(q^n - 1\right)}{q - 1}$ — без отрицательных чисел.

S_n = n a_1 \ \ (q = 1); \qquad S_n = \dfrac{a_1\left(1 - q^n\right)}{1 - q} \ \ (q \ne 1)

Никольский, п. 8.2Пример 1

a_1 = 8

. Найдите сумму первых пяти членов: а) при

q = \dfrac12

; б) при

q = 2

а) $S_5 = \dfrac{8\left(1 - \frac{1}{32}\right)}{1 - \frac12} = \dfrac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac12} = \dfrac{31}{2} = 15{,}5$ .
б) $S_5 = \dfrac{8\left(2^5 - 1\right)}{2 - 1} = 8 \cdot 31 = 248$ .

Ответ: а) $15{,}5$ ; б) $248$

ОГЭ, задание 14Пример 2

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые

9

минут половина его атомов без потери массы преобразуется в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла

400

мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через

36

минут. Ответ дайте в миллиграммах.

$36 : 9 = 4$ периода. Масса А: $400 \cdot \left(\dfrac12\right)^4 = 25$ мг.
Масса не теряется — всё остальное стало изотопом Б: $400 - 25 = 375$ мг.
То же как сумма прогрессии: $200 + 100 + 50 + 25 = \dfrac{200\left(1 - \frac{1}{16}\right)}{1 - \frac12} = 375$ .

Ответ: 375

Бесконечно убывающая прогрессия

Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если $|q| < 1$ . Например, $1, \dfrac12, \dfrac14, \dfrac18, \ldots$

Перепишем $S_n = \dfrac{a_1}{1 - q} - \dfrac{a_1}{1 - q} \cdot q^n$ . При $|q| < 1$ и неограниченном росте $n$ величина $q^n$ стремится к нулю, а $S_n$ — к числу $S = \dfrac{a_1}{1 - q}$ .

Это число называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\ \dfrac{a_1}{1 - q} = a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots

Никольский, п. 8.3Пример 3

Вычислите суммы: а)

\dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac{1}{16} + \ldots

; б)

1 - \dfrac12 + \dfrac14 - \dfrac18 + \ldots

а) $a_1 = \dfrac12$ , $q = \dfrac12$ : $\ S = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ . На рисунке: закрашиваем половину квадрата, четверть, восьмую — площадь приближается к $1$ .
б) $a_1 = 1$ , $q = -\dfrac12$ : $\ S = \dfrac{1}{1 + \frac12} = \dfrac23$ .

Ответ: а) $1$ ; б) $\dfrac23$

Никольский, п. 8.3Пример 4

Обратите в обыкновенные дроби: а)

0{,}(7)

; б)

0{,}1(45)

а) $0{,}777\ldots = 0{,}7 + 0{,}07 + 0{,}007 + \ldots$ — $a_1 = 0{,}7$ , $q = 0{,}1$ : $\ \dfrac{0{,}7}{0{,}9} = \dfrac79$ .
б) $0{,}14545\ldots = 0{,}1 + (0{,}045 + 0{,}00045 + \ldots)$ , в скобке $a_1 = 0{,}045$ , $q = 0{,}01$ : $\ 0{,}1 + \dfrac{0{,}045}{0{,}99} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{45}{990} = \dfrac{8}{55}$ .

Ответ: а) $\dfrac79$ ; б) $\dfrac{8}{55}$

Главное

$S_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$ при $q \ne 1$ ; $S_n = na_1$ при $q = 1$ .
Вывод: $S_n - S_n q = a_1 - a_1 q^n$ .
$|q| < 1$ : $\ S = \dfrac{a_1}{1 - q}$ — сумма бесконечно убывающей прогрессии.
Периодическая дробь — сумма бесконечно убывающей прогрессии.

Сумма геометрической прогрессии. Бесконечно убывающая

Все уроки станции «Последовательности и прогрессии»