Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый последующий член которой равен предшествующему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом $d$. Число $d$ называют разностью прогрессии.

$1, 2, 3, 4, \ldots$ — разность $d = 1$. $\ 3, 1, -1, -3, \ldots, 5 - 2n, \ldots$ — разность $d = -2$.

Разность находят вычитанием: $d = a_2 - a_1 = a_{n+1} - a_n$.

Свойство 1. Для любой арифметической прогрессии её $n$-й член выражается через первый член и разность этой формулой.

В самом деле: $a_1 = a_1 + 0 \cdot d$, $\ a_2 = a_1 + d$, $\ a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$, $\ a_4 = a_1 + 3d$, … На $(n - 1)$-м шаге получаем $a_n = a_1 + (n - 1)d$. (Строгое доказательство — методом математической индукции.)

Свойство 2. Любой член арифметической прогрессии, кроме первого, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов.

Доказательство: $a_{n-1} = a_n - d$, $\ a_{n+1} = a_n + d$, поэтому $\dfrac{(a_n - d) + (a_n + d)}{2} = a_n$.

Пример: $a_7 = -3$, $a_9 = 1$, тогда $a_8 = \dfrac{-3 + 1}{2} = -1$.

Вкладчик положил $a$ р., и каждый месяц ему начисляют $p\%$ от первоначальной суммы. Прибавка каждый месяц одна и та же: $d = \dfrac{ap}{100}$.

Суммы на счёте — арифметическая прогрессия с $x_1 = a$ и разностью $d$. Через $n$ месяцев: $x_{n+1} = a + nd = a\left(1 + \dfrac{np}{100}\right)$ — формула простых процентов.

1. а) $3, 5, 7, 9, 11$.
2. б) $d = 7 - 1 = 6$, $\ a_{10} = 1 + 9 \cdot 6 = 55$.

1. Температуры по минутам — арифметическая прогрессия: в начальный момент $-8$, разность $d = -7$.
2. Через $6$ минут температура уменьшилась $6$ раз: $-8 + 6 \cdot (-7) = -50$.

1. $a_7 - a_3 = 4d$: $\ 37 - 25 = 12$, $\ d = 3$.
2. $a_{19} = a_7 + 12d = 37 + 36 = 73$.

• $a_{n+1} = a_n + d$; $\ d = a_{n+1} - a_n$.
• $a_n = a_1 + (n - 1)d$; удобно и $a_n = a_k + (n - k)d$.
• $a_n$ — среднее арифметическое соседей.
• Простые проценты — арифметическая прогрессия с $d = \dfrac{ap}{100}$.