Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый последующий член которой равен предшествующему, умноженному на отличное от нуля постоянное число $q$ — знаменатель прогрессии.

$2, 4, 8, 16, \ldots$ — $q = 2$. $\ 1, -1, 1, -1, \ldots$ — $q = -1$. $\ \dfrac17, -\dfrac{1}{21}, \dfrac{1}{63}, \ldots$ — $q = -\dfrac13$.

Последовательность $0, 0, 0, \ldots$ из рассмотрения исключают, поэтому $a_1 \ne 0$.

Свойство 1. $a_1 = a_1 q^0$, $\ a_2 = a_1 q$, $\ a_3 = a_2 q = a_1 q^2$, $\ a_4 = a_1 q^3$, … На $(n - 1)$-м шаге: $a_n = a_1 q^{n-1}$.

Свойство 2. Любой член, кроме первого, геометрической прогрессии с положительными членами есть среднее геометрическое предшествующего и последующего.

Доказательство: $\sqrt{a_{n-1} a_{n+1}} = \sqrt{\dfrac{a_n}{q} \cdot a_n q} = \sqrt{a_n^2} = a_n$, так как $a_n > 0$.

Пример: $a_7 = 32$, $a_9 = 2$, тогда $a_8 = \sqrt{64} = 8$.

Если $p\%$ начисляют каждый месяц от текущей суммы на счёте, сумма каждый месяц умножается на $q = 1 + \dfrac{p}{100}$ — это геометрическая прогрессия.

Через $n$ месяцев на счёте $a q^n$ — формула сложных процентов. Сравните: простые проценты — арифметическая прогрессия, сложные — геометрическая.

1. За $42$ минуты масса уменьшится вдвое $42 : 7 = 6$ раз.
2. $640 \cdot \left(\dfrac12\right)^6 = \dfrac{640}{64} = 10$.

1. $90 : 30 = 3$ увеличения: $\ 13 \cdot 3^3 = 13 \cdot 27 = 351$.

1. Высоты, см: $540,\ 180,\ 60,\ 20,\ \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7, \ldots$ — прогрессия с $q = \dfrac13$.
2. Четвёртый прыжок — $20$ см, ещё выше $10$; пятый — меньше $10$ см.

• $a_{n+1} = a_n q$, $\ q = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$; $\ a_n = a_1 q^{n-1}$.
• При положительных членах $a_n = \sqrt{a_{n-1} a_{n+1}}$.
• «В $k$ раз каждые $t$ минут»: за время $T$ — умножение на $k^{T/t}$.
• Сложные проценты: $a\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^n$.