Сумма арифметической прогрессии

$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ — сумма первых $n$ членов.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы первого и $n$-го её членов на число слагаемых.

Запишем сумму дважды — в прямом и в обратном порядке — и сложим попарно.

Каждая пара равна $a_1 + a_n$: $\ a_2 + a_{n-1} = (a_1 + d) + (a_n - d) = a_1 + a_n$, $\ a_3 + a_{n-2} = (a_1 + 2d) + (a_n - 2d) = a_1 + a_n$ и т. д.

Пар $n$, поэтому $2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$, откуда и получается формула.

Подставим $a_n = a_1 + (n - 1)d$ в первую формулу. Вторая удобна, когда известны первый член и разность, а $n$-й член не дан.

1. а) $S_{15} = \dfrac{11 + 27}{2} \cdot 15 = 19 \cdot 15 = 285$.
2. б) $S_{10} = \dfrac{2 \cdot 9 + 9 \cdot 2}{2} \cdot 10 = 18 \cdot 10 = 180$.

1. а) $n = 100$: $\ S = \dfrac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 5050$.
2. б) Слагаемых $40 - 30 + 1 = 11$: $\ S = \dfrac{30 + 40}{2} \cdot 11 = 385$.

1. $a_1 = 17$, $d = 2$, $n = 13$: $\ a_{13} = 17 + 12 \cdot 2 = 41$.
2. $S_{13} = \dfrac{17 + 41}{2} \cdot 13 = 29 \cdot 13 = 377$.

1. Пути за секунды: $a_1 = 30$, $d = -4$; $\ a_5 = 30 - 16 = 14$.
2. $S_5 = \dfrac{30 + 14}{2} \cdot 5 = 110$.

• $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ — вывод: сумма в прямом и обратном порядке.
• $S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$ — если $a_n$ не дан.
• Число членов от $a_k$ до $a_m$ включительно: $m - k + 1$.
• «Сколько всего» — сумма; «сколько в $n$-м» — член прогрессии.