Квадратный корень. Арифметический корень

В геометрии часто решают задачу: площадь квадрата равна $b$, найти длину его стороны. Для площади $25\ \text{см}^2$ сторона равна $5$ см, потому что $5^2 = 25$.

В общем виде задача такая: для данного числа $b$ найти число $a$, для которого $a^2 = b$.

Сначала выясним, при каких $b$ у этой задачи вообще есть решение.

• Если $a = 0$, то $a^2 = 0\cdot 0 = 0$.
• Если $a > 0$, умножим неравенство $a > 0$ на положительное число $a$: получим $a^2 > 0$.
• Если $a < 0$, умножим $a < 0$ на отрицательное число $a$ — знак неравенства меняется: $a^2 > 0$.

Квадратным корнем из данного числа называют такое число (если оно существует), квадрат которого равен данному числу.

• У каждого положительного числа $b$ ровно два квадратных корня — противоположные числа. Корни из $289$: $17$ и $-17$, потому что $17^2 = (-17)^2 = 289$.
• У нуля квадратный корень один — сам $0$.
• У отрицательного числа квадратных корней нет.
• Ещё примеры: корни из $\dfrac{1}{49}$ — это $\dfrac17$ и $-\dfrac17$; корни из $\dfrac{25}{9}$ — это $\dfrac53$ и $-\dfrac53$.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $b$ называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен $b$. Обозначают $\sqrt b$ и читают «арифметический квадратный корень из $b$». Знак $\sqrt{\ }$ называют знаком корня (радикалом), число под ним — подкоренным выражением.

$\sqrt0 = 0$, $\sqrt1 = 1$, $\sqrt4 = 2$, $\sqrt9 = 3$, $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{\dfrac{1}{49}} = \dfrac17$, $\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac53$.

Из двух корней положительного числа $b$ арифметический — положительный: $\sqrt b$, второй корень равен $-\sqrt b$. Выражение $\sqrt b$ при $b < 0$ смысла не имеет.

Ищем соседние точные квадраты: $49 < 53 < 64$. По свойству сравнения $\sqrt{49} < \sqrt{53} < \sqrt{64}$, то есть $7 < \sqrt{53} < 8$.

Так решается всё задание №7 ОГЭ с корнями: число сравнивают не с корнем, а квадрат — с подкоренным числом.

• $\sqrt x = 3$. По определению $\sqrt x = 3$ тогда и только тогда, когда $3^2 = x$. Единственный корень $x = 9$.
• $\sqrt{2x - 3} = 5$. Значит, $2x - 3 = 5^2 = 25$, откуда $x = 14$.
• $\sqrt{3x - 3} = -7$. Арифметический корень не бывает отрицательным — корней нет.

По таблице корни извлекаются в обратную сторону: $\sqrt{196} = 14$, $\sqrt{361} = 19$.

Корни из десятичных дробей: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$, $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, $\sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$ — запятая сдвигается вдвое меньше.

1. Соседние квадраты: $7^2 = 49$, $8^2 = 64$, и $49 < 53 < 64$.
2. По свойству сравнения корней $7 < \sqrt{53} < 8$ — промежуток $[7;\,8]$, вариант 4.

1. Запишем концы промежутка корнями: $6 = \sqrt{36}$, $7 = \sqrt{49}$.
2. Нужно число $\sqrt b$ с $36 \le b \le 49$. Подходит только $b = 42$. $\sqrt{35}$ чуть меньше $6$, $\sqrt6$ и $\sqrt7$ — между $2$ и $3$.

1. а) $0{,}6^2 = 0{,}36$ и $0{,}6 \ge 0$, поэтому $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$; так же $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$. Сумма $1{,}3$.
2. б) Сначала вычисляем подкоренное выражение: $49 - 13 = 36$. $\sqrt{36} = 6$.

1. д) Сравним квадраты неотрицательных чисел: $1{,}7^2 = 2{,}89 < 3 = \left(\sqrt3\right)^2$. Значит, $1{,}7 < \sqrt3$.
2. з) $1 = \sqrt1$, $2 = \sqrt4$, и $1 < 3 < 4$. По свойству сравнения корней $\sqrt1 < \sqrt3 < \sqrt4$.

1. г) По определению $5x - 1 = 2^2 = 4$, $x = 1$. Проверка: $\sqrt{5 - 1} = \sqrt4 = 2$.
2. е) Справа отрицательное число, а арифметический корень неотрицателен — корней нет.

• Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому у отрицательных чисел квадратных корней нет.
• У положительного $b$ два квадратных корня: $\sqrt b$ и $-\sqrt b$; у нуля один.
• $\sqrt b$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $b$; $\left(\sqrt b\right)^2 = b$.
• $0 \le b_1 < b_2 \iff \sqrt{b_1} < \sqrt{b_2}$ — так оцениваем корни: $7 < \sqrt{53} < 8$.