Свойства арифметических квадратных корней

Пусть $a$ и $b$ — любые неотрицательные числа, $c$ — положительное число. Тогда

• Словами: корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.
• Корень из частного неотрицательного числа на положительное равен частному корней.
• Корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

Обе части равенства $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ — неотрицательные числа: слева арифметический корень, справа произведение двух арифметических корней.

Возведём обе части в квадрат. Слева: $\left(\sqrt{ab}\right)^2 = ab$. Справа: $\left(\sqrt a\sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2\left(\sqrt b\right)^2 = ab$.

Квадраты равны, сами числа неотрицательны — значит, равны и числа (единственность арифметического корня). Равенство доказано.

Для частного рассуждение то же: $\left(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt c}\right)^2 = \dfrac{a}{c}$, и $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt c} \ge 0$.

По определению $\left(\sqrt{a^2}\right)^2 = a^2$, и $\sqrt{a^2} \ge 0$. Покажем, что и $|a|^2 = a^2$:

если $a \ge 0$, то $|a| = a$, и $|a|^2 = a^2$; если $a < 0$, то $|a| = -a$, и $|a|^2 = (-a)^2 = a^2$.

Числа $\sqrt{a^2}$ и $|a|$ неотрицательны и имеют одинаковые квадраты — значит, они равны.

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, а $\sqrt9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Корень из суммы не равен сумме корней. В выражении $\sqrt{a + b}$ под корнем сначала считаем сумму.

Чётную степень можно записать как квадрат: $5^6 = \left(5^3\right)^2$, поэтому $\sqrt{5^6} = 5^3 = 125$.

Так же $\sqrt{2^4\cdot 9} = \sqrt{2^4}\cdot\sqrt9 = 2^2\cdot 3 = 12$, $\quad\sqrt{16\cdot 7^2} = 4\cdot 7 = 28$.

С буквами помним модуль: $\sqrt{x^6} = |x^3|$, $\sqrt{a^4} = a^2$ (здесь модуль не нужен: $a^2 \ge 0$).

Подкоренное число раскладываем так, чтобы один множитель был точным квадратом, и применяем теорему: $\sqrt{80} = \sqrt{16\cdot5} = \sqrt{16}\cdot\sqrt5 = 4\sqrt5$.

Для больших чисел — разложение на простые множители. $2160 = 2^4\cdot 3^3\cdot 5 = (2^2\cdot 3)^2\cdot 15$, поэтому $\sqrt{2160} = 12\sqrt{15}$.

Обратное преобразование — внесение множителя под знак корня: $4\sqrt5 = \sqrt{16\cdot 5} = \sqrt{80}$. Минус остаётся снаружи: $-3\sqrt2 = -\sqrt{18}$.

Чтобы сравнить $3\sqrt2$ и $2\sqrt3$, вносим множители под корень: $3\sqrt2 = \sqrt{18}$, $2\sqrt3 = \sqrt{12}$.

$18 > 12$, значит, $\sqrt{18} > \sqrt{12}$, то есть $3\sqrt2 > 2\sqrt3$.

Числитель и знаменатель умножаем на тот же корень: $\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$ — в знаменателе целое число.

Ответы в ЕГЭ и ОГЭ обычно записывают без корня в знаменателе.

1. Числовые множители отдельно: $2\cdot 4 = 8$.
2. Корни — под один знак по теореме: $\sqrt{34}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{68} = \sqrt{34\cdot2\cdot68} = \sqrt{68\cdot 68} = 68$.
3. Итог: $8\cdot 68 = 544$.

1. Перемножать в лоб долго — раскладываем: $63 = 3^2\cdot7$, $14 = 2\cdot7$, $50 = 5^2\cdot2$.
2. $63\cdot50\cdot14 = 3^2\cdot5^2\cdot7^2\cdot2^2$, поэтому $\sqrt{\ldots} = 3\cdot5\cdot7\cdot2 = 210$.

1. $5^6 = \left(5^3\right)^2$, и $5^3 > 0$, поэтому $\sqrt{5^6} = 5^3 = 125$.

1. По теореме $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.
2. Проверка напрямую: $(-3)^2 = 9$, $\sqrt9 = 3$.

1. а) $72 = 36\cdot 2$, $\sqrt{72} = 6\sqrt2$.
2. б) $3\sqrt{10} = \sqrt{90}$, $4\sqrt6 = \sqrt{96}$. $90 < 96$, поэтому $3\sqrt{10} < 4\sqrt6$.

• $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$, $\sqrt{\dfrac ac} = \dfrac{\sqrt a}{\sqrt c}$ — доказываются возведением в квадрат.
• $\sqrt{a^2} = |a|$, а не $a$.
• Для суммы правила нет: $\sqrt{a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b$.
• Выносим множитель-квадрат, вносим множитель для сравнения, освобождаем знаменатель от корня.