Преобразование выражений с корнями

Слагаемые с одинаковым корнем складываются как подобные: $2\sqrt2 + 3\sqrt2 = 5\sqrt2$, $\ a\sqrt x - 3\sqrt x = (a - 3)\sqrt x$.

Разные корни сначала приводят к одному, вынося множитель: $\sqrt8 + \sqrt{18} = 2\sqrt2 + 3\sqrt2 = 5\sqrt2$.

$\sqrt2 + \sqrt3$ упростить нельзя: подкоренные числа разные и не приводятся друг к другу.

Это обычные формулы разности квадратов и квадрата суммы (разности), в которых $\left(\sqrt a\right)^2 = a$.

Разность квадратов убирает корни полностью: $\left(\sqrt{11} - 3\right)\left(\sqrt{11} + 3\right) = 11 - 9 = 2$.

Квадрат суммы корень оставляет: $\left(\sqrt3 + \sqrt2\right)^2 = 3 + 2\sqrt6 + 2 = 5 + 2\sqrt6$.

Выражения $\sqrt a - b$ и $\sqrt a + b$ называют сопряжёнными: их произведение не содержит корня.

Если в знаменателе сумма или разность с корнем, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.

• $\sqrt x + x = \sqrt x + \left(\sqrt x\right)^2 = \sqrt x\left(1 + \sqrt x\right)$ при $x \ge 0$.
• $a - \sqrt a = \sqrt a\left(\sqrt a - 1\right)$.
• $\dfrac{\sqrt5 + 5}{\sqrt5} = \dfrac{\sqrt5\left(1 + \sqrt5\right)}{\sqrt5} = 1 + \sqrt5$.
• $\dfrac{3\sqrt2 + 2\sqrt2}{10} = \dfrac{5\sqrt2}{10} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Выражение вида $\sqrt{A \pm B\sqrt C}$ стараются записать так, чтобы под корнем оказался полный квадрат.

$3 - 2\sqrt2 = 2 - 2\sqrt2 + 1 = \left(\sqrt2 - 1\right)^2$, поэтому $\sqrt{3 - 2\sqrt2} = \left|\sqrt2 - 1\right| = \sqrt2 - 1$ (так как $\sqrt2 > 1$).

С буквами то же: $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$.

1. Разность квадратов: $\left(\sqrt{29}\right)^2 - 4^2 = 29 - 16 = 13$.

1. Раскрываем скобки: $\sqrt{12}\cdot\sqrt3 + \sqrt3\cdot\sqrt3 = \sqrt{36} + 3 = 6 + 3 = 9$.
2. Другой путь: $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, в скобке $3\sqrt3$, и $3\sqrt3\cdot\sqrt3 = 9$.

1. Квадрат суммы: $\left(\sqrt{19}\right)^2 + 2\cdot2\cdot\sqrt{19} + 2^2 = 23 + 4\sqrt{19}$.
2. $23 + 4\sqrt{19} - 4\sqrt{19} = 23$.

1. Под корнем полный квадрат: $a^2 + 2\cdot a\cdot 4b + (4b)^2 = (a + 4b)^2$.
2. $\sqrt{(a + 4b)^2} = |a + 4b|$, и $a + 4b = 3\dfrac37 + \dfrac47 = 4$.
3. Подставлять числа сразу было бы гораздо дольше: сначала упрощаем, потом считаем.

1. а) $\sqrt8 = 2\sqrt2$, поэтому $2\sqrt8 - 3\sqrt2 = 4\sqrt2 - 3\sqrt2 = \sqrt2$.
2. б) Умножаем на сопряжённое $\sqrt2 + 1$: $\dfrac{\sqrt2 + 1}{2 - 1} = \sqrt2 + 1$.

1. Ищем полный квадрат: $11 + 4\sqrt7 = 7 + 2\cdot2\cdot\sqrt7 + 4 = \left(\sqrt7 + 2\right)^2$.
2. $\sqrt{\left(\sqrt7 + 2\right)^2} = \sqrt7 + 2$ (число положительное).
3. $\sqrt7 + 2 - \sqrt7 = 2$.

• Одинаковые корни складываются как подобные слагаемые; разные сначала приводим, вынося множитель.
• $\left(\sqrt a - b\right)\left(\sqrt a + b\right) = a - b^2$ — корень исчезает; это и есть сопряжённые выражения.
• Под корнем ищем полный квадрат: $\sqrt{(\ldots)^2} = |\ldots|$.
• Сначала упрощаем выражение, потом подставляем числа.